Улучшенный метод Эйлера

Классические методы Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта являются одноточечными методами, и для вычисления очередного значения функции используют только одно значение функции в предыдущей точке интегральной кривой и на каждом шаге правая часть дифференциального уравнения вычисляется несколько раз. Эти методы позволяют изменять величину шага интегрирования в любой точке и имеют достаточно большую область устойчивости.

Решение задачи Коши методами Рунге-Кутта описываются соотношениями:

где r – порядок метода, h – шаг интегрирования,

α_n, β_rm, p_rn – постоянные коэффициенты.

Для примера классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка имеет вид:

В данном разделе представлена математическая модель самолёта в виде системы дифференциальных уравнений поступательного движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс как жесткого материального тела.

Уравнения Эйлера углового движения ЛА:

Уравнения поступательного движения ЛА в ЗСК:

Уравнения вращательного движения ЛА в ССК:

Кинематические уравнения Пуассона

Кинематические уравнения Пуассона и условия ортогональности осей:

В рассматриваемой модели дифференциальные уравнения Пуассона выбраны с целью исключения особой точки на больших углах тангажа и сохранения свойств ортогональности осей систем координат. Кроме этого выбранные уравнения обладают рядом преимуществ при численном интегрировании в реальном времени.

Из уравнений Пуассона находим углы Эйлера:

;