2020-07-12
96
Тема 1. Функция одной переменной: определение,
Способы задания. Построение графиков.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ
Определение функции
Определение. Пусть даны два числовых множества 
и 
.
Функцией, заданной на множестве 
, называется закон (правило) 
, по которому каждому элементу 
ставится в соответствие единственный элемент 
.
Обозначение функции: 
,
где 
– аргумент функции или независимая переменная,
– значение функции или зависимая переменная,
– закон соответствия,
– область определения функции,
– область значений функции.
Под областью определения функции понимается множество значений аргумента 
, при которых функция 
имеет смысл.
Областью значений функции является множество значений переменной 
, которые принимает функция 
в ее области определения.
Нахождение области определения функций
Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для 
, при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел 
те значения аргумента 
, при которых функция не имеет смысл.
|
|
|
Если 
есть сумма, разность или произведение функций 
, 
, …, 
, то областью определения функции 
является пересечение областей определений этих функций: 
Пример 1. Найти области определения функций:
1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
.
Решение.
1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях 
. Значит, область определения 
.
2. .В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: 
. Найдем точки 
, при которых знаменатель равен нулю: 
, 
Полученное уравнение имеет два корня: 
, 
.
Исключим эти точки из числового промежутка 
:
.
Ответ: 
.
3. 
. Область определения 
данной функции – это множество значений 
, при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, 
.
Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле 
, где 
- корни квадратного уравнения 
.
, 
,
, 
.
Неравенство 
примет вид 
.
Отметим найденные корни 
и 
на числовой оси. Определим, на каких интервалах 
, 
, 
выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение в это неравенство:
при 
получим: 
,
при 
получим: 
,
при 
получим: .
Точки 
и 
не входят в решение неравенства 
(см. рис. 1).
Рис. 1. Графическое представление решения примера 3
На и выполняется . Значит, область определения 
Ответ: 
.
4. . Данная функция является суммой функций 
. Значит, ее область определения 
является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: 
.
Первая функция 
определена, если ее знаменатель не равен нулю, т.е. 
, т.е. 
.
|
|
|
Вторая функция 
имеет смысл, если подкоренное выражение 
больше или равно нулю, т.е. 
, или 
Решим систему найденных условий: 
, отсюда 
или 
.
С помощью числовых промежутков область определения функции запишется так: 
.
