Линии напряжённости электрического поля

Для визуализации электростатического поля удобно ввести понятие линий напряжённости электрического поля – линий, всюду касательных к вектору напряжённости поля. На линии могут наносится стрелки, показывающие в какую сторону вдоль линии направлено поле. О величине напряжённости электрического поля можно судить по плотности нанесённых на изображении линий. Там где на единицу площади рисунка приходится больше линий – напряжённость больше. На рисунке (2) приведены примеры линий напряжёности поля одного точечного заряда и двух точечных зарядов разного знака (электрического диполя).

(а)	(б)	(в)
Рис. 2. Изображение электрических полей: (а) положительный заряд, (б) отрицательный заряд, (в) электрический диполь. Сплошные линии – линии напряжённости электрического поля, пунктирные – эквипотенциальные поверхности.

 

Поток напряжённости электрического поля и Теорема Гаусса.

Поток напряжённости векторного поля  через поверхность S по определению равна: , где  – вектор, равный по величине площади участка dS и направленный по нормали к поверхности. Между  и  стоит знак скалярного произведения. Рассчитаем поток напряжённости электрического поля через сферическую поверхность в центре которой находится заряд Q. Интеграл равен , и не зависит от радиуса сферы. Легко показать, что величина потока не изменится, если поверхность не является сферой, а имеет произвольную форму [], главное чтобы заряд Q оставался внутри поверхности. Если заряд находится снаружи поверхности, то поток будет равен нулю. Используя этот факт, а также принцип суперпозиции, можно сформулировать следующее утверждение, имеющее название теоремы Гаусса: поток напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность S равна произведению , где Q_s – заряд внутри поверхности:

.                                            (8)

Теорема позволяет легко находить величину электрического поля для системы зарядов, если система обладает сферической симметрией (набор концентрических равномерно заряженных сферических слоёв); цилиндрической симметрией и постоянна влоль оси симметрии (набор равномерно заряженных соосных цилиндров); зеркальной симметрией и неизменна влоль зеркальной плоскости (набор равномерно заряженных плоских слоёв, параллельных зеркальной плоскости). Собственно это те случаи, когда мы точно знаем в каждой точке пространства направление поля. Теорема позволяет рассчитать его величину. Для нахождения напряжённости поля системы зарядов, обладающих симметрией, с помощью теоремы Гауса необходимо действовать следующим образом:

1. Выбрать точку, в которой мы хотим определить величину поля. Направление поля в этой точке определяется симметрией системы и знаком зарядов. В случае сферической или цилиндрической симметрии поле будет иметь только радиальную компоненту, в случае зеркальной симметрии – компоненту поля вдоль нормали к зеркальной плоскости (направление полей в рассматриваемом случае легко определить, мысленно разбив систему зарядов на небольшие заряды и проссумировав векторные вклады от них).
2. Построить поверхность, через которую мы будем считать поток. Эта поверхность должна проходить через выбранную нами в первом пункте точку, причём направление нормали к этой поверхности должно совпадать с направлением поля (то есть поверхность должна быть эквипотенциальной см. ниже и модуль E равен константе вдоль поверхности). В этом случае скалярное произведение векторов E и dS в формуле (теор Гаусса) будет равно произведению их величин, а поток поля E через эту поверхность будет равняться произведению искомой величины поля и площади этого участка поверхности. В случае если на этом шаге мы получили замкнутую поверхность, то можно переходить к шагу 4. Иначе выполняем шаг 3.
3. В случае, если продлевая поверхность в направлении, перпендикулярном E не получается её замкнуть (случай цилиндрической или зеркальной симметрии), для получения замкнутой поверхности необходимо начать строить её вдоль поля в направлении оси симметрии или зеркальной плоскости. Поток через эту часть поверхности будет равен нулю, поскольку E и dS на ней перпендикулярны. Используя пункты 2 и 3 необходимо создать замкнутую поверхность, охватывающую некоторую заряженную область.
4. Подсчитывает величину заряда внутри замкнутой поверхности и из () выражаем величину E.

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Гаусса.

Теорему Гауса можно записать в дифференциальном виде. Переходя от интеграла по поверхности к интегралу по объёму и, заменяя заряд в правой части (8) тоже на интеграл по объёму, можно получить:

,

или приравнивая подынтергальные выражения:

.                                                                (9)

Выражения (9), согласно физической интерпретации оператора дивергенции, говорит, что источником электрического поля является заряд.

Подводя итог. Теорема Гауса справедлива всегда, но воспользоваться ею для нахождения поля можно только в случаях, когда заранее известно точное направление E во всём пространстве. Этот способ на много проще первого и позволяет быстро делать оценки величины поля в разных условиях, а также находить асимптотики.

Потенциал

Рассмотрим поле точечного заряда Q, находящегося в начале координат. Оно направлено радиально и зависит только от расстояния до этого заряда. Если в этом поле перемещать другой заряд q из произвольной точки с координатами  в произвольную точку с кооррдинатами , то работа, затрачиваемая на это перемещение, не зависит от пути l. Это легко показать. Элементарная работа при перемещении тела на бесконечно малое расстояние против силы  равна . Перемещение  мы можем разложить на два: и  (см. рис. 4). Поскольку  имеет только радиальную компоненту, то работа при перемещении  равна нулю. Поэтому .

Рис. 4.

Полная работа будет определяться выражением (10), в котором фигурирует только начальное и конечное расстояния между зарядами.

.                          (10)

Исходя из принципа суперпозиции очевидно, что при перемещении пробного заряда в поле произвольной системы зарядов, работа A=-SqEdl также не будет зависеть от пути. Вычисленная работа пропорциональна величине пробного заряда и является изменением его потенциальной энергии. Таким образом, можно ввести скалярную функцию f=-SEdl, которая имеет смысл разности потенциалов между двумя точками. Потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля. Изменение потенциальной энергии заряда в электрическом поле равно dU=qdf. Из формулы следует и связь напряжённости и потенциала:

.                                               (10.5)

Или, тоже самое в дифференциальном виде:

.                                                     (10.6)

Поскольку физически измеряемой величиной является напряжённость или разность потенциалов, потенциал определён с точностью до произвольной константы.

Из (10.5) следует, что при перемещении заряда по замкнутому контуру, затрачиваемая работа будет равна нулю. Это условие можно записать в следующем виде:

,                                                         (11)

что является следствием потенциальности поля.

Из (10) следует, что точечный заряд создаёт вокруг себя поле, потенциал которого равен: ,                                                            (12)

где константа С – потенциал на бесконечном расстоянии от заряда. Если положить, что потенциал на бесконечности равен нулю, то С=0.

Поле системы точечных зарядов имеет потенциал:

,                                                 (13)

В случае непрерывного распределения зарядов:.

,                                        (14)

Выражения (13) и (14) проще для вычислений чем (3) и (6). Поэтому, в случае известного распределения зарядов в пространстве, для нахождения электрического поля может оказаться более предпочтительным подход, когда сначала с помощью (13, 14) рассчитывается потенциал электрического поля, а потом напряженность определяется по (10.6).