Модель Эберса – Молла

    Простая и чрезвычайно удобная модель явлений инжекции и экстракции носителей в биполярных транзисторах была разработана в 1954 г. Дж. Дж. Эберсом и Дж. Л. Моллом. Даже сорок лет спустя эта модель по-прежнему составляет основу для построения многих значительно более сложных моделей биполярных плоскостных транзисторов для автоматизированного проектирования схем. Эта модель Эберса-Молла построена на интерпретации работы транзистора как прибора на взаимодействующих p-n переходах. Полный ток эмиттера можно представить в виде суммы тока «связи» (коллектируемого тока) и базы (рекомбинационные потери и обратная инжекция).

       Чтобы проанализировать базовый ток, рассмотрим по отдельности его составляющую I_BE, текущую между базой и эмиттером, и составляющую I_BС, текущую между базой и коллектором. Так как эмиттерный переход представляет собой плоскостной диод, базовый ток можно описать уравнением тока для идеального диода, обозначив его ток насыщения через I _{0 Е} [12]:

,                                         (7.112)

ток обратной инжекции и рекомбинационных потерь в квазинейтральных областях базы. Полный ток в эмиттере состоит из тока, текущего в коллектор (тока связи) и тока диода база – эмиттер. Ток связи определяется диффузионными компонентами тока эмиттера, вызванными напряжениями на эмиттерном и коллекторном переходах. Для n-p-n транзистора с однородно легированной базой (7.12), (7.13).

. (7.113,а)

Для транзистора с неравномерным легированием базы необходимо учитывать дрейфовую составляющую тока электронов через базу. Как отмечалось ранее, продольный ток основных носителей в базе значительно меньше, чем неосновных (j_p<<j_n). Из этого условия следует

                                ;

                                 .

С учётом дрейфовой компоненты

;

.

    В интегральной форме последнее уравнение может быть представлено в виде:

;

где     ; .

Следовательно, продольный электронный ток или ток связи можно выразить через напряжения на эмиттере и коллекторе в виде:

                         ,                         (7.113,б)

где  – среднее значение D_n с учётом дрейфа носителей заряда.

Если обозначить удельный заряд основных носителей в базе

,

то               ; .                         (7.113,в)

Следовательно, выражение для эмиттерного тока имеет вид

.                  (7.114)

Аналогично, для коллекторного тока получаем выражение

,                 (7.115)

где ток диода база – коллектор равен

.

Сгруппировав слагаемые в уравнениях (7.114) и (7.115) в соответствии с их зависимостями от напряжений, получим следующие выражения:

,                       (7.116,а)

,                      (7.116,б)

Введём следующие определения:

I_ES º I_S +I _{0 E} ,   I_CS º I_S +I _{0 C} ,                                        (7.117,a)

, .                                       (7.117,б)

С использованием этих новых переменных уравнения (7.116) преобразуются к следующему виду:

,                (7.118,а)

.              (7.118,б)

Уравнения (7.118) представляют собой уравнения Эберса-Молла для npn- транзистора. В соответствующих уравнениях для p-n-p- транзистора изменяются направления токов, что обеспечивает учет полярности p-n переходов. В биполярном плоскостном pnр- транзисторе диоды находятся в режиме прямого смещения при положительных напряжениях V_EB и V_CB.

       Полученные уравнения (7.118) непосредственно определяют эмиттерный и коллекторный токи транзистора; в соответствии с первым законом Кирхгофа (сумма всех токов в электрическом узле равна нулю) они также определяют и базовый ток прибора. Модель Эберса-Молла имеет четыре параметра. Однако из уравнений (7.117) видно, что независимыми могут быть только три из них; любой из четырёх параметров можно найти по значениям трех остальных с помощью соотношения обратимости

a_NI_ES   º a_II_CS   º I_S.                                           (7.119)

Это соотношение более детально рассматривается в конце настоящего раздела.

 

 

                

 

 

Уравнения (7.118) можно упростить, определив две новые величины: ток диода, соответствующий прямому активному режиму, I_F, и ток диода, соответствующий инверсному активному режиму, I_R. Эти токи определяются следующими выражениями:

,                             (7.120,а)

,                                   (7.120,б)

и представляют собой токи инжекции в нормальном (I_F)и инверсном (I_R) активных режимах.

                                            I_E = – I_F + a_II_R ,                                         (7.121,a)

                                            I_C = – I_R + a_NI_F .                                       (7.121,б)

       Эквивалентная схема, соответствующая уравнениям (7.121), показана на рисунке 7.84. Эта схема состоит из диодов и источников тока, включенных между базой и эмиттером и базой и коллектором транзистора. Источники тока нужны в этой схеме для представления тех составляющих тока, которые зависят от напряжений на соседних переходах (I_R в эмиттере и I_F в коллекторе). Применяя к схеме рисунка 7.84 первый закон Кирхгофа, получаем уравнение для базового тока

                                                  I_B = – (I_E + I_C) = I_F (1 – a_N) + I_R (1 – a_I).                    (7.122)

Чтобы показать, как модель Эберса-Молла описывает поведение транзистора в различных режимах работы, рассмотрим сначала режим отсечки, в котором напряжения V_BE и V_BC отрицательны. Из уравнений (7.120) – (7.122) получается эквивалентная схема, показанная на рисунке 7.85. Модель в этом случае сводится к двум источникам тока, представляющим обратные токи насыщения двух переходов транзистора.

    В прямом активном режиме эмиттерный переход смещен в прямом направлении, коллекторный переход – в обратном. В этом случае уравнение (7.121) можно преобразовать, выразив из них коллекторный ток через эмиттерный:

      I_C = – a_NI_F – I_R (1 – a_Na_I).  (7.123)

Это выражение для активного режима приводится к следующему виду:

     I_C = – a_NI_E – I_CS (1 – a_Na_I). (7.124)

Аналогично, в инверсном активном режиме для эмиттерного тока получаем

I_E = – a_II_C – I_ES (1 – a_Na_I). (7.125)

           

 

Анализ уравнений (7.124) и (7.125) показывает, что такие параметры модели, как a_N, a_I, I_ES, и I_CS, можно получить, измеряя зависимость I_C (I_E) в прямом активном режиме или зависимость I_Е (I_С) в инверсном активном режиме. При измерениях в прямом активном режиме полученная зависимость должна представлять собою прямую линию с наклоном -a_N. Пересечение этого графика с осью I_E = 0 соответствует режиму измерения с разомкнутым эмиттером, и ток, текущий в этой ситуации, обычно обозначается I_{CB 0}и равен

.                                       (7.126)

Этот ток можно сопоставить с коллекторным током I_{CE 0} при разомкнутой базе. Из уравнений (7.112) и (7.114) получаем

.                                 (7.127)

Часто бывает удобно иметь такие модели, в которых активные элементы (генераторы) управляются токами внешних электродов. Для активного режима сделать это очень легко, если воспользоваться выведенными выше уравнениями и принять эмиттерный ток в качестве такой внешней переменной. На рисунке 7.86,а показана эквивалентная схема для транзистора, включенного по схеме ОБ, соответствующая модели с управлением тока эмиттера. Эта модель полностью согласуется с уравнением (7.124), если ток утечки в коллекторе представить величиной I_{CB 0} (7.126). Модель Эберса – Молла не учитывает токи генерации в ОПЗ коллектора, однако предполагает эмпирическое определение тока утечки I_{CB 0} при условии   I_E = 0.

 

 

а)

б)

 

Рисунок 7.86 - Эквивалентные схемы для n-p-n  транзисторов, соответствующие моделям с управлением токами внешних электродов:   а – схема для с ОБ,  б – схема с ОЭ

 

В режиме насыщения наибольший интерес представляет такая величина, как падение напряжения на «открытом» транзисторном ключе V_CEsat. Для этого режима из модели Эберса – Молла можно вывести следующее выражение [12]:

.                                 (7.128)

Напряжение  достаточно мало, поэтому в первом приближении, которое часто используется при проектировании схем, можно  пренебречь. Если же такое приближение недопустимо, то следует воспользоваться (7.128), откуда видно, что  относительно слабо зависит от коллекторного тока транзистора. По этой причине в данном режиме вполне приемлема эквивалентная схема в виде источника напряжения между коллектором и эмиттером или, что более предпочтительно, схема из двух источников напряжения, как это было рассмотрено выше, один из которых включен между базой и эмиттером, второй – между базой и коллектором. В уравнениях модели Эберса – Молла не учитываются никакие сопротивления, включенные последовательно с переходами. Падения напряжения на последовательных сопротивлениях, в частности, на сопротивлениях коллекторных областей интегральных транзисторов, зачастую превышают , определяемое уравнением (7.128); поэтому «включенный» транзисторный ключ часто моделируется последовательно соединенными источником напряжения и резистором, обозначаемым R_Csat.

В данном разделе рассмотрена статическая модель Эберса – Молла, предназначенная для описания стационарных режимов. Эту модель можно модифицировать для выполнения расчётов динамических режимов (т.е. для описания переходных процессов), однако далее будет показано, что для выполнения этих расчётов удобнее пользоваться другим методом моделирования, называемым моделированием методом управления зарядом. Такая зарядоуправляемая модель будет рассмотрена ниже, где также обсуждается модифицированная модель Эберса – Молла, позволяющая учесть ряд важных эффектов второго порядка.