Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Сходимость градиентного метода

Сходимость метода гарантируется при выборе начального приближения вблизи .

В любом случае метод может остановитья в точке относительного метода.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АЭП

Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:

ОДУ n-го порядка имеет вид:

Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:

или

Таким образом, решение дифференциального уравнения n-го порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (количество дифференциальных уравнений в системе = n).

Если ввести следующие обозначения:

,

то систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторно-матричном виде:

(1)

Известно, что система n-го порядка имеет множество решений,, которые в общем случае зависят от постоянных С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:

,где

Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного решения необходимо учитывать дополнительные условия. В зависимости от выбора дополнительных условий определены следующие типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

- задача Коши;

- краевая задача;

- задача на собственные значения.