Силы и моменты

18 19 20 21 22 23 24

РАЗДЕЛ 2. ДИНАМИКА ИМ МР

ДРУГОЙ ВАРИАНТ ВЫКЛАДОК (лекции 2011).

Линейные ускорения

Угловые ускорения

Угловые и линейные ускорения звеньев

Продифференцируем w_i ⁽⁰⁾ по времени. Получим:

_{i i i i}

w^`_i⁽⁰⁾₌S t^`_0jv_j + S t_0jv^`_j= S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_j + S t_0jv^`_j,

^j⁼¹^j⁼¹^j⁼¹^j⁼¹

или в развернутой форме записи

_{i i}

w^`_i⁽⁰⁾₌S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^` + S t_0jv_js_jq^``_j,

^{j =1 j =1}

где

w_j⁽⁰⁾₌S t_0kv_ks_kq_k^`.

^k⁼¹

С другой стороны, из полученных ранее соотношений следует

_i _i

w`_i⁽⁰⁾₌S с^`_j⁽⁰⁾q_j^`+ S с_j⁽⁰⁾q^``_j.

^{j =1 j =1}

Сравнив между собой cоотношения (4.1) и (4.2), увидим:

с^`_j⁽⁰⁾= l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_j= l(w_j⁽⁰⁾) с_j⁽⁰⁾.

Из полученных соотношений следует, что угловые ускорения звеньев ИМ линейно зависят от вторых производных обобщенных координат (зависимость задается векторами с_j⁽⁰⁾) и квадратично – от первых производных обобщенных координат ИМ.

Продифференцируем V_i ⁽⁰⁾ по времени. Получим:

V^`_i⁽⁰⁾= l(w`_i⁽⁰⁾) t_0i t_i + l(w_i⁽⁰⁾) t^`_0i t_i + S l(w^`_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) +

^j=1

_{i i}

S l(w_j⁽⁰⁾) t^`_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + S l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q^`_j) +

^{j=1 j=1}

_{i i}

S t^`_0j (v_j(1-s_j)q^`_j) + S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j).

^j⁼¹^j⁼¹

После подстановки в полученное выражение значений t^`₀_j будем иметь:

V^`_i⁽⁰⁾= l(w`_i⁽⁰⁾) t_0i t_i + l(w_i⁽⁰⁾) l(w_i⁽⁰⁾) t_0i t_i + S l(w^`_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) +

^j=1

_{i i}

S l(w_j⁽⁰⁾) l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + 2 S l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q^`_j) +

^{j=1 j=1}

S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j).

^j=1

С другой стороны, согласно вышеизложенному

_i _i

V^`_i⁽⁰⁾= S D`_ij⁽⁰⁾q^`_j + S D_ij⁽⁰⁾q^``_j.

^j⁼¹^j⁼¹

Выражеие для D_ij⁽⁰⁾мы получили ранее. Для того, чтобы полностью развернуть выражение для V^`_i⁽⁰⁾ нужно определить вид D`_ij⁽⁰⁾q^`_j.

Обратим внимание на 1-е, 3-е и последнее слагаемые в выражении для V^`_i⁽⁰⁾:

_{i i}

l(w`_i⁽⁰⁾) t_0i t_i+ S l(w^`_j⁽⁰⁾) t_0j(v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j) =

^{j=1 j=1}

_{i i}

l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^` + S t_0jv_js_jq^``_j) t_0it_i+

^{j =1 j =1}

_{i k k}

S l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^` + S t_0jv_js_jq^``_j) t_{0j k}(v_k(1-s_k)q_k+ l_k) +

^{k =1 j =1 j =1}

S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j) =

^j⁼¹

(во втором слагаемом переименованы индексы j и k – для удобства дальнейших преобразований)

_i _i _k _i

l (S t₀_jv_js_jq^``_j) t₀_it_i + S l (S t₀_jv_js_jq^``_j) t₀_k(v _k(1-s _k)q _k + l_j) +S t₀_j (v_j (1-s_j)q^``_j) +

^j⁼¹^k⁼¹^j⁼¹^j⁼¹

_i _i _k

l (S l(w_j⁽⁰⁾) t₀_jv_js_jq_j^`) t₀_it_i + S l (S l(w_j⁽⁰⁾) t₀_jv_js_jq_j^`) t₀_k(v _k (1-s _k)q _k + l _k) =

^j⁼¹^k⁼¹^j⁼¹

_i _i _k _i

S l(t₀_jv_js_j) t₀_it_i q^``_j + S S l (t₀_jv_js_j) t₀_k(v _k (1-s _k)+q _k l _k) q^``_j + S t₀_j (v_j (1-s_j) q^``_j +

^j⁼¹^k⁼¹^j⁼¹^j⁼¹

_i _i _k

l (S l(w_j⁽⁰⁾) t₀_jv_js_jq_j^`) t₀_it_i + S l (S l(w_j⁽⁰⁾) t₀_jv_js_jq_j^`) t₀_k(v _k (1-s _k)q _k + l _k) =

^{j =1 k =1 j =1}

S D_ij⁽⁰⁾q^``_j+ ….

^j=1

(Мы воспользовались результатами вывода формулы линейной скорости звеньев).

Тогда S D`_ij⁽⁰⁾q^`_j - это 2,4,5 слагаемые из выражения для V^`_i⁽⁰⁾ + оставшиеся (…)

^j⁼¹

слагаемые из последнего выражения, т.е.

S D`_ij⁽⁰⁾q^`_j= l(w_i⁽⁰⁾) l(w_i⁽⁰⁾) t_0i t_i+

^j=1

_{i i}

S l(w_j⁽⁰⁾) l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + 2 S l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q^`_j) +

^{j=1 j=1}

_{i i k}

l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^`) t_0it_i+ S l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^`) t_{0 k}(v_k(1-s_k)q_k+ l_k).

^j⁼¹^k⁼¹^j⁼¹

/* … Обратим внимание на 1-е, 3-е и последнее слагаемые в выражении для V^`_i⁽⁰⁾:

_{i i}

l(w`_i⁽⁰⁾) t_0i t_i+ S l(w^`_j⁽⁰⁾) t_0j(v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j) =

^{j=1 j=1}

_{i i}

l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^` + S t_0jv_js_jq^``_j) t_0it_i+

^{j =1 j =1}

_{i k k}

S l (S l(w_j⁽⁰⁾) t_0jv_js_jq_j^` + S t_0jv_js_jq^``_j) t_{0j k}(v_k(1-s_k)q_k+ l_k) +

^{k =1 j =1 j =1}

S t_0j (v_j(1-s_j)q^``_j).

^j⁼¹

В последнем равенстве 2-е, 3-е и 5-е слагаемые являются явными функциями q^``_j. Но согласно

_{i i}

V^`_i⁽⁰⁾= S D`_ij⁽⁰⁾q^`_j+ S D_ij⁽⁰⁾q^``_j

^j⁼¹^j⁼¹

и эти слагаемые равны

S D_ij⁽⁰⁾q^``_j.

^j⁼¹

Тогда

S D`_ij⁽⁰⁾q^`_j-

^j⁼¹

это все оставшиеся слагаемые, а именно (см. выше).

В этих слагаемых каждая компонента содержит произведения производных обобщенных координат второй степени. Поэтому линейные ускорения звеньев ИМ линейно зависят от вторых производных обообщенных координат (зависимость задается векторами D_ij⁽⁰⁾) и квардратично – от первых производных обобщенных координат ИМ.

Внимательное рассмотрение последнего выражения дает компоненты вида

2Sl(w_j⁽⁰⁾)t₀_j(v_j(1-s_j)q^`_j) – ускорения Кориолиса, а также центробежные (пропорциональные вторым степеням производных одноименных координат вращательных пар и гироскопические ускорения (пропорциональные произведениям производных разноименных координат).

Рассматриваются силы и моменты, действующие на звенья и шарниры ИМ, а также силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: