Метод стандартногоz-преобразования

В основе этого метода лежит расчет передаточной функции БИХ-фильтра по его импульсной характеристике, которая по­лучается путем дискретизации импульсной характеристики аналога-прототипа.

Предположим, что передаточная функция аналога-прототипа задана в виде дробно-рациональной функции

                                      .                                     (6.25)

Запишем выражение для импульсной характеристики аналога-прототипа, используя известную формулу Хэвисайда:

                                                                           (6.26)

где s _{П i} – L однократных полюсов функции H (s); q_i  – коэффициенты, определяемые как вычеты комплексной функции H (s)в каждом из полюсов s _{П i}:

                                                                        (6.27)

Здесь под  обозначена первая производная по s.

Располагая выражением для импульсной характеристики (6.26) в виде суммы экспонент, воспользуемся преобразова­нием Лапласа и составим выражение для передаточной функции аналога-прототипа в новой форме – также в виде суммы:

                                                                             (6.28)

Теперь проведем операцию дискретизации импульсной ха­рактеристики (6.26) аналога-прототипа и получим выражение для ДИХ рассчитываемого БИХ-фильтра:

                                                                   (6.29)

Передаточная функция H (z) цифрового фильтра, как извест­но, определяется z -преобразованием его ДИХ:

                                                                        (6.30)

Для определения z -преобразования последовательности (6.29) нет необходимости проводить расчет по (6.30). Используя свойство линейности z -преобразования, а также известную z -форму для экспоненциальной последовательности, можно сразу записать:

                                                                         (6.31)

где полюсы функции H (z)

                                         z _{П i}  = exp(s _{П i}T).                                        (6.32)

Из сравнения (6.28) и (6.31) видно, что для получения передаточной функции H (z)БИХ-фильтра необходимо в вы­ражении для H (s) провести замену

                                                                  (6.33)

Особенностью метода стандартного z -преобразования является то, что использование замены (6.33) требует представления передаточной функции аналога-прототипа в виде суммы простых дробей (6.28).

Если функция H (s)содержит комплексные нули и по­люсы, то коэффициенты q_i и z _{П i} в (6.31) также оказываются комплексными. В этом случае для получения передаточной функции реализуемого БИХ-фильтра с действительными коэффициентами необходимо провести группировку величин q_i и z _{П i} в комплексно-сопряженные пары и выполнить необхо­димые преобразования, подобные тем, которые описаны в разделе 6.2.2.

Обратим внимание, что выражение (6.32) для полюсов передаточной функции БИХ-фильтра совпадает с базовым соотношением (6.2). Из этого следует, что БИХ-фильтр, рас­считанный методом стандартного z -преобразования, будет устойчив, если его аналог-прототип также устойчив, поскольку в соответствии с (6.32) все полюсы из левой s -полуплоскости трансформируются внутрь окружности единичного радиуса в z -плоскости.

Особенностью ДИХ (6.29) является принципиальная невозможность абсолютно точного обратного восстановления импульсной характеристики h (t)аналога-прототипа. В соот­ветствии с теоремой отсчетов такое восстановление возможно, если период дискретизации удовлетворяет условию T 1/(2 f_m), где f_m – высшая частота спектра дискретизации функции h (t). Поскольку функция h (t) ограничена во времени, то спектр ее бесконечен, что требует T = 0. Следовательно, при конечных значениях Т при переходе от h (n)к непрерывной функции времени можно рассчитывать лишь на то, что восстановлен­ная функция  будет совпадать с h (t)только в точках дискретизации, а в промежутках между ними подчиняться известным законам интерполяции. Отмеченное обстоятельство является причиной ошибок в воспроизведении частотных ха­рактеристик БИХ-фильтров, рассчитываемых методом стан­дартного z -преобразования. Помимо этих ошибок методу стандартного z -преобразования свойственны также и ошибки наложения.

Рассмотрим пример использования метода стандартного z -пре­образования при расчете БИХ-фильтра. По-прежнему используем в качестве аналога-прототипа полосовой фильтр с передаточной функцией, описываемой выражением (6.13):             

                          

Особые точки передаточной функции были найдены выше и приведены в выражении (6.23).

Представим передаточную функцию в виде

                                                   (6.34)

и разложим ее на сумму простых дробей:

                          .                     (6.35)

Величины q ₁и q ₂ определим по формуле (6.27) или методом неопределенных коэффициентов:

                                                (6.36)

Используя в (6.35) замену (6.33), получим исходную запись передаточной функции рассчитываемого БИХ-фильтра:

                                      (6.37)

Подставив (6.36) в (6.37) и выполнив необходимые преобра­зования, получим выражение для передаточной функции БИХ-фильтра в окончательном виде:

(6.38)

 

Рассчитаем АЧХ ЦФ с передаточной функцией (6.38), приняв использованные ранее значения: f ₀ = 10 кГц и f _Д = 50 кГц, 100 кГц и 150 кГц. На рис. 6.5 эти АЧХ обозначены пунктиром. АЧХ аналога-прототипа изображена сплошной линией.

 

Рис. 6.5. АЧХ при использовании метода стандартного z - преобразования.

 

Как следует из рис. 6.5, сравниваемые АЧХ аналога-прототипа и цифрового фильтра практически совпадают в области верхних частот при значениях частот дискретизации 100 и 150 кГц. В области нижних частот от АЧХ аналога прототипа отклоняются все АЧХ ЦФ, но степень отклонения тем меньше, чем выше частота дискретизации.

Обратим внимание, что полюсы передаточной функции БИХ-фильтра, рассчитанного методом стандартного z -преобразования, определяются точно так же, как и в методе согласованного z -преобразования. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить (6.16) и (6.32). Что же каса­ется нулей, то их пересчет из плоскости s в плоскость z  отличается от со­гласованного преобразования, а именно, положение пересчитанного в z -плоскость нуля определяется параметрами w₀ и  Dw передаточной функ­ции аналога-прототипа и частотой дискретизации. Отмеченная особен­ность пересчета нулей в методе стандартного z -преобразования в некото­рых случаях может рассматриваться как своего рода коррекция ошибок в воспроизведении АЧХ, свойственных методу согласованного z -преобра­зования.

Отметим, что методы согласованного и стандартного z -преобразования дают сравнительно малую погрешность при воспроизведении АЧХ аналога-прототипа. Безусловного предпочтения при синтезе различных типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) нельзя отдать ни одному из этих методов. Выбор метода можно осуществить только по результатам конкретных расчетов.