Метод билинейногоz-преобразования

Как уже отмечалось, базовое соотношение (6.2) для пере­хода из s -плоско­сти в z -плоскость

                                       z = exp(sT)                                         (6.39)

не может быть использовано при расчете БИХ-фильтров на основе дискретизации аналога-прототипа, поскольку пере­менная s определяется из (6.39) трансцендентным выраже­нием

                                                s = (1/ T)ln z,                                               (6.40)

что не позволяет представить передаточную функцию рассчи­тываемого БИХ-фильтра дробно-рациональной функцией (6.1). Тем не менее, это затруднение может быть преодолено, если логарифмическую функцию в (6.40) представить рядом

                                  

Возьмем из этого ряда только первый член разложения и после его подстановки в (6.40) получим

                                                                                  (6.41)

Выражение (6.41) представляет собой дробно-линейную (или би­линейную) функцию и лежит в основе метода билинейного преобразования. Для практических расчетов удобнее (6.41) представить так:

                                                                               (6.42)

Получив основное уравнение билинейного z -преобразования, проверим, обеспечивает ли соотношение (6.42) переход линейного движения по оси j wв s -плоскости в циклическое вращение по окружности единичного радиуса в z -плоскости. Как отмечалось в разделе 6.2.1, выполнение такого условия необхо­димо для сохранения избирательных свойств аналога-прото­типа при его переводе в цифровую область.

Из (6.42) следует:

                                                                          (6.43)

где s =s+ j w. Движение по оси j w предполагает s = 0, поэтому (6.43) следует записать в следующем виде:

                                                                                  (6.44)

Представим (6.44) в экспоненциальной форме

                                                           (6.45)

где  Окончательное выражение для   z с использованием (6.45) запишем так:

                                                                     (6.46)

Представив в (6.46) комплексную величину z вектором, можно убедиться, что его годограф в z -плоскости является окружностью с единичным радиусом с центром в начале коор­динат. Однако линейное изменение переменной w в правой части (6.46) переходит не в циклическое вращение по этой окружности, а в ограни­ченное перемещение от точки (+1, 0) до точки (– 1, 0), как  это показано на рис. 6.6.

 

Рис. 6.6. Годограф при методе билинейного z -преобразования.

 

Таким образом, билинейное z -преобразование по правилу (6.42) неизбежно приводит к суще­ственной деформации АЧХ аналога-прототипа при его пере­счете в цифровую форму. Однако это обстоятельство следует рассматривать не как недостаток билинейного z -преобразования, а как его особенность. Ниже будет показано, что возни­кающая при билинейном z -преобразовании деформация АЧХ БИХ-фильтров может быть легко прогнозируема и скомпенси­рована в конкретных расчетах.

Заканчивая рассмотрение общих свойств метода били­нейного z -преобразования, оценим устойчивость БИХ-фильтров, рассчитываемых этим методом. Если аналог-прототип устойчив, т.е. все полюсы его передаточной функции расположены в левой s -полуплоскости (s<0), то соотношение (6.43) принимает вид:

                                                  (6.47)

Из (6.47) следует, что модуль величины z при s < 0 всегда меньше единицы. Действительно,

                                                              

Следовательно, при билинейном z -преобразовании вся левая s -полуплос­кость, где расположены полюсы передаточной функции устойчивого аналога-прототипа, переходит внутрь окружности единичного радиуса в z -плоскости, что является признаком устойчивости цифровых фильтров.

Перейдем к рассмотрению эффекта деформации АЧХ ана­лога-прототипа при его пересчете в цифровую область мето­дом билинейного z -преобразования. Введем обозначения: w = 2p f   – частота, в масштабе которой определяется АЧХ аналога-про­тотипа; W= 2p F – частота, в масштабе которой определяется АЧХ БИХ-фильтра; Ф = W T  – цифровая частота.

Связь между частотами w и Wопределим из (6.46):

                                                   

откуда следует, что

                                                                            (6.48)

Преобразуя (6.48), получим:

                                                                                  (6.49)

На рис. 6.7 показан примерный вид одной ветви графика частотно-преобразующей функции (6.49) для положительных значений w и W. Этот же рисунок иллюстрирует эффект де­формации АЧХ аналога-прото­типа при его пересчете в БИХ-фильтр.

Рис. 6.7. Частотные преобразования.

 

В большом числе практических случаев АЧХ проекти­руемых цифровых фильтров задают всего лишь ограниченным набором параметров: границами полосы пропускания, границами областей задерживания (подавления), значением неравномерности АЧХ в полосе пропускания и значением затухания в полосе задерживания. Таким способом, например, рассчитываются фильтры большинства ра­диотехнических устройств.

В указанных случаях эффект деформации АЧХ легко учесть частотно-преобразующей функцией типа (6.49) и тем самым сохранить заданные параметры АЧХ рассчитываемого БИХ-фильтра. Можно предложить следующий общий порядок расчета БИХ-фильтра:

1. АЧХ рассчитываемого БИХ-фильтра задается в масштабе частот W = 2p F   и в этом же масштабе отмечаются характерные точки АЧХ (границы полосы пропускания, границы областей задерживания и т.д.).

2. С помощью частотно-преобразующей функции (6.49) определяются те же характерные точки в масштабе частот w = 2p f для АЧХ аналога-прототипа и составляется выражение для его передаточной функции H (s).

3. Методом билинейного z -преобразования функция H (s)пересчитывается в передаточную функцию H (z) рассчитываемого БИХ-фильтра, где z = exp(j W T).

Таким образом, порядок расчета предусматривает "предыскажение" АЧХ аналога-прототипа с тем, чтобы при его пере­воде в цифровую область параметры АЧХ БИХ-фильтра по­лучили бы расчетные значения. Поскольку эффект деформации АЧХ легко учитывается, то он не расценивается как недостаток метода билинейного z -преобразования.

 Отметим, что характер частотного преобразования (6.49) полностью исключает искажения АЧХ, вызываемые эффектом наложения, который свойственен всем ранее рассмотренным методам, основанным на дискретизации аналога-прототипа.

В качестве примера применим метод билинейного z -преобразования для расчета полосового БИХ-фильтра, аналог-прототип которого представлен передаточной функцией (6.13):

                                                                (6.50)

а АЧХ описывается графиком 1 на рис. 6.8. Такой же график АЧХ должен иметь рассчитываемый БИХ-фильтр. Как было сказано выше, для получения искомой АЧХ цифрового фильтра необходимо до выполнения преобразования "аналоговый фильтр ® цифровой фильтр" осуществить "предыскажение" аналога-прототипа, т.е. пересчитать коэффициенты его передаточной функции с помощью частотно-преобразующей функции (6.49). В рассматриваемом примере в передаточной функции аналога-прототипа (6.50) необходимо пересчитать два параметра: w₀ и Dw, или связанные с ними параметры f ₀ и D f. На практике их удобно выражать через другие два параметра, а именно, через границы полосы пропускания на уровне 0,7, т.е. через частоты среза:

                                                      (6.51)

Представленные выражения тем точнее, чем больше добротность. При добротности Q ³ 4 погрешность менее 1%.

Обозначим через f _С1 и f _С2 границы полосы пропускания непредыскаженного аналога-прототипа, а через f '_С1 и f '_С2 - границы полосы пропускания предыскаженного аналога-прототипа. По графику АЧХ аналога- прототипа определим: f _С1 = 8,75 кГц; f _С2 = 11,25 кГц; D f = 2,5 кГц. Примем, как и выше, значения f ₀ = 10 кГц и Q = 4.

Найдем значения f '_С1 и f '_С2 с использованием формулы пересчета (6.49), которую для нашего случая перепишем в виде:

                                                                    (6.52)

Значение частоты дискретизации примем равным: f _Д = 50 кГц. Подстановка значения f _Д и рассчитанных выше значений f _С1 и f _С2 в (6.52) дает для f '_С1 и f '_С2 следующие значения: f '_С1 = 9,96 кГц, f '_С2 = 13,85 кГц. Если подставить эти значения вместо f _С1 и f _С2 в (6.51), то для предыскаженного аналога-прототипа получим следующие значения параметров:

       

Подставив эти значения в (6.50), получим выражение для передаточной функции предыскаженного аналога-прототипа:

(6.53)

Нормированная АЧХ предыскаженного аналога-прототипа описывается графиком 2 на рис. 6.8. Подставим в (6.53) формулу (6.42) и для принятых числовых значений параметров получим выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра:

                                                        (6.54)

 

Рис. 6.8. АЧХ при использовании билинейного z -преобразо­вания: 1 - для выбран­ного аналога-прототипа; 2 - для предыскаженного аналога-прото­типа; 3 - для цифрового фильтра при f _Д = 50 кГц.

 

Обратим внимание на то, что у цифровых фильтров, рассчитанных выше другими методами, передаточные функции имели нуль первого порядка. В передаточной функции (6.54) присутствуют два нуля. Появление второго нуля в передаточной функции БИХ-фильтра, рассчитанного методом билинейного z -преобразования, вполне закономерно. Действительно, в соответ­ствии с частотным преобразованием (6.49) вся ось частот, на которой отсчитывается беско­нечно протяженная АЧХ полосового аналогового фильтра-прототипа, полностью размещается в интервале Найквиста (0...p) на оси цифровых частот. Следовательно, коэффи­циент передачи БИХ-фильтра с таким аналогом-прототипом на частоте, соответствующей верхней границе интервала Найквиста, должен равняться нулю. Поэтому в передаточной функции БИХ-филътра появляется дополнительный действительный нуль с координатами (–1, 0).

С использованием выражения (6.54) рассчитана и построена нормированная АЧХ цифрового БИХ-фильтра (график 3 на рис. 6.8). Как следует из этого рисунка, АЧХ полностью совпадает с заданной (график 1) в области низких частот и в диапазоне частот вблизи резонансной. В области верхних частот появляется заметное отклонение АЧХ цифрового фильтра от заданной, что вызвано появлением дополнительного нуля в передаточной функции ЦФ. В то же время появление дополнительного нуля обеспечивает нулевое значение коэффициента передачи ЦФ на правой границе интервала Найквиста, а это исключает эффект наложения АЧХ.

Итак, нами рассмотрено четыре метода, позволяющих рас­считать БИХ-фильтр по его аналогу-прототипу. Такое доста­точно обширное рассмотрение имело целью познакомить читателя с общими приемами и правилами, присущими зада­чам такого рода. Что касается практического применения этих методов, то в тех случаях, когда к АЧХ рассчитываемого БИХ-фильтра предъявляются повышенные требования к точности воспро­изведения во всем ее частотном диапазоне, целесообразно использовать методы согласованного или стандартного z -преобразования. В остальных случаях, когда АЧХ БИХ-фильтра задается лишь ограниченным набором параметров, более предпочтителен метод билинейного z -преобразования, по­скольку он полностью исключает эффект наложения АЧХ, не требует повышения частоты дискретизации для уменьшения ошибок воспроизведения АЧХ и, благодаря нелинейному частотному преобразованию, способствует уменьшению переходной зоны АЧХ при переходе от аналога-прототипа к ЦФ.