Расчет БИХ-фильтров по заданным параметрам АЧХ

6.3. Расчет БИХ-фильтров по заданным параметрам АЧХ

Вначале приведем основные сведения из теории линейных фильтров, необхо­димые при проектировании БИХ-фильтров, АЧХ которых за­даются ограниченным набором параметров. Рассматриваются оптимальные аппроксимации АЧХ, обеспечивающие минимальный порядок передаточной функции фильтра при заданных требованиях к форме АЧХ (монотонный характер АЧХ или допустимость пульсаций в полосе пропускания и задерживания).

Рис. 6.9. Параметры АЧХ.

 

При описании АЧХ фильтров нижних частот в качестве параметров фигурируют четыре величины (см. рис. 6.9):

w_С –   частота среза, определяющая полосу пропускания фильтра;

w_З –граница области затухания;

H _C – уровень АЧХ, определяющий неравномерность передачи в по­лосе пропускания, одной из границ которой является частота среза; 

H _З – уровень АЧХ, определяющий ослабление в области затухания.

Поведение графика АЧХ в полосе пропускания и в области затухания в нашем случае в задании на расчет не регламентируется, кроме выполнения единствен­ного, заранее оговариваемого условия – допускается или не допускается наличие пульсаций на этих участках АЧХ. В зависимости от того, как формулируется указанное условие, возможны четыре основных типа АЧХ, графики которых по­казаны на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Типы АЧХ фильтров нижних частот: а)монотонная; б) с пульсациями в полосе пропускания; в) с пульсациями в области затухания; г) с пульсациями в полосе пропускания и в области затухания.

 

Применительно к различным формам АЧХ, показанным на рис. 6.10, используются, как правило, три типа оптимальных аппрокси­маций АЧХ: Баттерворта, Чебышева, Кауэра. Принято фильтры с указанными аппроксимациями АЧХ называть, соответственно, фильтрами Баттерворта, Чебышева и Кауэра.

Фильтр Баттерворта. Функция, оптимально аппроксими­рующая АЧХ в области нижних частот монотонно убывающей зависи­мостью, описывается выражением, характеризующим фильтр Баттерворта:

                                                                        (6.55)

и однозначно определяется двумя параметрами: характерной частотой w₀  и порядком фильтра N.  Графики функции (6.55) для различных значений N показаны на рис. 6.11.

Рис. 6.11. АЧХ фильтров Баттерворта.

 

Первые (2 N - 1) производные АЧХ фильтра нижних частот Баттерворта N -го порядка равны нулю при  w = 0. По этой причине фильтры Баттерворта также называются фильтрами с максимально плоскими (гладкими) АЧХ.

Рис. 6.12. К расчету АЧХ.

 

Частота w₀ и порядок передаточной функции N находятся из решения системы двух уравнений. Они составляются для заданных значений w_С, w_З,  H _C и H _З (рис. 6.12). Система этих уравнений находится из (6.55) и имеет вид

                                .                                (6.56)

Решение этих уравнений относительно двух неизвестных приводит к следующим выражениям для w₀ и N:  

                                                                      (6.57)

                                                                               (6.58)

В выражениях (6.57) и (6.58) H _З и H _C – абсолютные значения ослабления в области затухания и неравномерности коэффициента передачи в области пропускания,   выраженные в децибелах.

Значение N, определяемое формулой (6.58), округляется до ближайшего большего целого числа. При этом рассчиты­ваемый фильтр приобретает несколько лучшие характеристи­ки по сравнению с заданными, а именно, большее ослабление в области затухания.

Передаточная функция H (s)фильтра Баттерворта имеет только полюсы

                                (6.59)

Из (6.59) следует, что все полюсы лежат в левой s -полу­плоскости (следовательно, фильтр устойчив) и эквидистантно размещаются на окружности с радиусом w₀ (рис. 6.13). Угловое смеще­ние между полюсами равно p/ N.

Рис. 6.13. Полюсы передаточной функции Баттерворта: а) при четном N; б) при нечетном N.

 

При составлении выражения для передаточной функции фильтра Баттерворта удобно в качестве аргумента использо­вать нормированный оператор s ₀:

                                                   s ₀ = s/ w₀,                                                (6.60)

тогда полюсы будут определяться так:

                                      (6.61)

и исходная запись для передаточной функции фильтра при­мет вид:

                                                                     (6.62)

Если в (6.62) использовать тригонометрическое представле­ние комплексной экспоненты (6.61)

                               s _{0.П k} = exp(j j _k) = cosj _k + j sinj _k,                                

то после преобразований передаточная функция (6.62) примет более удобный общий вид:

                                                                               (6.63)

где B_N (s ₀) – полином Баттерворта N -го порядка.

Коэффициенты полинома Баттерворта для заданного зна­чения N можно определить из таблиц (например, в [9]). Для значений N = 1 ÷ 3 полиномы Баттерворта записываются так:

                                                              (6.64)

В качестве примера определим передаточную функцию фильтра Баттерворта при следующих исходных данных:

H _C = 0,707 (–3 дБ), f _С = 42,50 кГц, H _З = 0,25 (–12 дБ),   f _З =86,00 кГц.

Используя (6.57) и (6.58), получаем w₀ = 10³ рад/с, N = 1,92. Округляя значение N до ближайшего целого, получаем N = 2. Так как порядок N равен двум, то из (6.64) выбираем полином B ₂(s ₀) и записы­ваем выражение для передаточной функции фильтра:

                                      

Фильтр Чебышева. В фильтрах Чебышева (рис. 6.14) ошибки аппроксимации идеально прямоугольной АЧХ представляются равновеликими пульса­циями. В зависимости от того, где минимизируются эти ошибки – в полосе пропускания или в области затухания – различают фильтры Чебышева I и II типа.

Рис. 6.14. АЧХ фильтров Чебышева а)I типа и б)II типа.

 

Фильтр Чебышева I типа. АЧХ фильтра описывается вы­ражением

                                                                   (6.65)

где T_N (x) – полином Чебышева N -го порядка от аргумента x = w/w_С:

                                                          (6.66)

Параметр eв (6.65) характеризует уровень пульсаций в по­лосе пропускания (рис. 6.14,а).

Фильтр Чебышева I типа отличается равновеликими пульса­циями в полосе пропускания и монотонным ослаблением в области затухания. Порядок фильтра определяется из (6.65) при w = w_З, тогда

                               

откуда выражение для T_N с использованием (6.66) примет следующий вид:

                                   

и после преобразований формула для определе­ния порядка N запишется так:

                    .                     (6.67)

Выражение (6.67) можно заменить более удобным, хотя и менее точным выражением:

                           .                                (6.68)

При расчетах по выражениям (6.67) и (6.68) берутся абсолютные значения H _Cи H _З, выраженные в децибелах.

        Передаточная функция фильтра Чебышева I типа имеет только полюсы (нули удалены в бесконечность). Нормирован­ные координаты полюсов определяются формулами

                          

где

                     .                       (6.69)

Параметр

                                        

После расчета координат полюсов передаточная функция фильтра Чебышева I типа составляется в форме

                                                              (6.70)

где s ₀ = s /w_С.

Фильтр Чебышева II типа характеризуется монотонной АЧХ в полосе пропускания и равновеликими пульсациями в области затухания (рис. 6.14,б). АЧХ фильтра (иногда фильтр этого типа называют обратным или инверсным фильтром Чебышева) описывается выражением

                                        (6.71)

Порядок фильтра определяется теми же формулами (6.67) и (6.68), которые использовались для фильтра I типа. В этом легко убедиться, если в (6.71) подставить w = w_З   и иметь в виду, что T_N (1) = 1 при любом значении N.

В отличие от фильтров I типа инверсные фильтры Чебышева характеризуются не только полюсами, но и нулями передаточной функции. Нули являются чисто мнимыми. Нормированные ординаты нулей определяются так:

                                                   (6.72)

где p = w_З/w_C, k = 1, 2, … N.

Нормированные координаты полюсов находятся из выражений:

                               

где

                                          .                              (6.73)

Параметры a _k и b _k рассчитываются по формулам:

                           ,                        (6.74)

где d = .

Передаточная функция фильтра Чебышева II типа состав­ляется в следующей форме:

                                                              (6.75)

 где s ₀ = s /w_С.

Фильтр Кауэра обладает АЧХ, отличительной особенно­стью которой является наличие пульсаций как в полосе пропускания, так и в области затухания (рис. 6.15). Выражение для АЧХ фильтра Кауэра имеет следующий вид:

                                                            (6.76)

Рис. 6.15. АЧХ фильтра Кауэра.

 

где R_N (w, L) – эллиптическая функция Якоби, а L - параметр, характеризующий пульсации функции R_N (w, L). Присутствие функции R_N в (6.76) определило и другое название фильтров этого типа – эллиптические фильтры.

Порядок фильтра Кауэра рассчитывается по формуле

                                                                      (6.77)

где K – символ полного эллиптического интеграла 1-го рода,

Передаточная функция фильтра Кауэра содержит как полюсы, так и нули, расчет которых достаточно сложен и здесь не приводится. Необходимые сведения по этому расчету можно найти в [15].

Итак, нами рассмотрены три основные аппроксимации АЧХ фильтров нижних частот. Какими же соображениями следует руководствоваться при выборе той или иной аппроксимации?

Известно, что с точки зрения получения более высокого «качества фильтрации» желательно АЧХ фильтров задавать в виде монотонно убывающих функций (аппроксимация Баттерворта). Однако в большом числе практических случаев наличие пульсаций в форме АЧХ считается вполне допустимыми. Если это так, то целесообразнее использовать другие аппроксимации – Чебышева или Кауэра, так как порядок проектируемого фильтра получается намного меньше.

Для иллюстрации этого положения определим порядок N фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для одних и тех же исходных условий. Рассчитаем фильтр нижних частот с полосой пропускания 2 кГц (т.е. частота среза равна 2 кГц) и допустимыми ошибками аппрокси­мации идеально прямоугольной АЧХ, определяемыми сле­дующими параметрами:

- неравномерность в полосе пропускания – 2 дБ,

- ослабление в области затухания – 40 дБ,

- ширина переходной зоны 0,5 кГц (при этом частота задерживания равна 2,5 кГц).

Используя формулы (6.58), (6.68) и (6.77), получим

- для фильтра Баттерворта N = 18,

- для фильтра Чебышева N = 7,

- для фильтра Кауэра N = 5.