Частотные преобразования АЧХ фильтров нижних частот

6.3.2. Частотные преобразования АЧХ фильтров нижних частот

В предыдущем разделе рассматривались способы расче­та передаточных функций H (s)аналоговых фильтров нижних частот (ФНЧ) с различными вариантами оптимальных аппроксимаций АЧХ. Далее, представляя такой фильтр как аналог-прототип и используя тот или иной метод расчета БИХ-фильтров (согласованное, стандартное z -пре­об­разование, билинейное z -преобразование), получаем передаточную функ­цию H (z)цифрового фильтра нижних частот.

Понятие оптимальной аппроксимации АЧХ применимо не только к ФНЧ, но и к другим типам фильтров:

- фильтрам верхних частот (ФВЧ),

- полосовым фильтрам (ПФ),

- режекторным фильтрам (РФ).

БИХ-фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ) могут быть получены по­средством соответствующих частотных преобразований АЧХ фильтра нижних частот, как это показано ниже.

Частотное преобразование типа «аналоговый фильтр нижних

частот - аналоговый фильтр требуемого типа»

Преобразование ФНЧ в ФВЧ. На рис. 6.16 показан график частотно-преобразующей функции w = f (W), позволяющей пересчитать АЧХ H (w) фильтра нижних частот (ФНЧ) в АЧХ H (W) фильтра верхних частот (ФВЧ).

Рис. 6.16. Частотно-преобразующая функция: ФНЧ ® ФВЧ.

 

К частотно-преобразующей функции предъявляется сравни­тельно ограниченный набор требований: помимо обеспечения необходимого вида преобразования, использование этой функции должно приводить к возможно более простым пересчетным формулам. При этом передаточная функция пере­считанного фильтра должна быть представлена дробно-ра­циональной функцией. Каких-либо других ограничений на выбор этой функции не накладывается.

В рассматриваемом случае в качестве функции w = f (W) удобно использовать гиперболу 

                                      w = – (A /W).                                              (6.78)

Коэффициент А определяется из (6.78) при заданном w_С и требуемом W_С значениях частот среза:

                                          A = w_С ∙W_С                                              (6.79)

После подстановки (6.79) в (6.78) получим

                                       .                                         (6.80)

В расчетах удобно частоты w, в масштабе которых опреде­ляется АЧХ ФНЧ, нормировать к частоте среза w_С. С учетом этого перепишем (6.80) так:

                                        .                                            (6.81)

Домножив левую и правую части (6.81) на j и перейдя к опе­раторной форме записи, составим выражение для замены операторов, которое преобразует передаточную функцию H (s ₀)ФНЧ в пере­даточную функцию H (s)ФВЧ с заданной частотой среза W_С:

                                                                                            (6.82)

где   s ₀ = j (w/w_С).

Заметим, что частотно-преобразущая функция (6.78) является нелинейной. Поэтому, если в последующем цифровой ФВЧ с полученным аналогом-прототипом рассчитывается ме­тодом билинейного z -пре­об­разования, то масштаб частот w иска­жается дважды.

Преобразование ФНЧ в ПФ. Частотно-преобразующая функция, с помощью которой производится указанное преобразование, имеет вид:

                                                                             (6.83)

График этой функции  показан на рис. 6.17.

Рис. 6.17. Частотно-преобразующая функция: ФНЧ ® ПФ.

 

Частоты W определяются решением квадратного уравнения, составленного на основании (6.83):

                                                                 

Корни W _{k 1,2} этого уравнения связаны с его коэффициентами известными соотношениями:

                                                                               (6.84)

В соответствии с преобразованием (6.83) частота +w_С пересчитывается в два значения +W_С2 и –W_С1 (см. рис. 6.17).

Имея это в виду и подставив w = +w_С в (6.84), получим:

                                                                           (6.85)

Из (6.85) определим параметры A и W₀:

                                                                                (6.86)

Полученные величины введем в (6.83):

                                                                  (6.87)

Нормируя частоту w к частоте среза w_С и умножая левую и правую части (6.87) на j, получим:

                      

Введя в это соотношение символы операторов s ₀ = j (w/w_С) и s = j W, составим выражение для замены, преобразующей передаточную функцию H (s ₀) фильтра нижних частот в пере­даточную функцию H (s)полосового фильтра с заданными частотами среза  W_С1 и   W_С2:

                                                                                (6.88)

где s ₀ = s /w_С.

Преобразование ФНЧ в РФ. Такое преобразование осуществляется с помощью частотно-преоб­разующей функции вида

                                                                              (6.89)

График этой функции показан на рис. 6.18.

 

Рис. 6.18. Частотно-преобразующая функция: ФНЧ ® РФ.

 

 

Анализ полностью аналогичен предыдущему случаю и поэтому не приводится. Замена, преобразующая передаточную функцию H (s ₀) фильтра нижних частот в переда­точную функцию H (s)режекторного фильтра с заданными частотами среза W_C1  и W_C2, определяется выражением:

                                                                        (6.90)

В качестве примера использования рассмотренного метода проведем расчет передаточной функции H (s) полосового фильтра Баттерворта с заданными параметрами АЧХ (рис. 6.19): W_C1 = 390×10³ с^-1; W_З1 = = 70×10³ с^-1; W_С2 = 410×10³ с^-1; W_З2 = 430×10³ с^-1; H _C = 0,9 (– 0,92 дБ); H _З = = 0,1 (– 20 дБ).

Используя эти данные, определим необходимые для после­дующего расчета четыре параметра фильтра Баттерворта нижних частот, который с помощью замены (6.88) будет пересчитан в полосовой фильтр. Этими параметрами являют­ся   H _C ^′, H _З ^′, w_С и  w_З.

Что касается величин H _C ^′ и H _З ^′, то они соответственно совпадают с заданными H _C и H _З. Частота среза по условию принятого нормирования должна равняться единице, а частот­ная граница w_З области ослабления определяется в соответ­ствии с частотно-преобразующей функцией (6.87). При этом следует иметь в виду, что из-за нелинейности функции (6.87) одинаковые по ширине переходные зоны полосового фильтра (заштрихованы на рис. 6.19) пересчитываются в область частот w в зоны различной ширины. Так, подстановка в (6.87) W = W_З1 = 370×10³с^-1 дает отношение w_З1/w_С = 3,1, подстановка W = W_З2 = 430×10³с^-1   дает отношение w_З2/w_С = 2,91. Очевидно, что в расчете следует учитывать меньшую по ширине пересчитанную пере­ходную зону (при w > 0), для обеспечения которой потре­буется фильтр большего порядка. С учетом сказанного выбрано значение w_З/w_С = 2,91.

Рис. 6.19. АЧХ полосового фильтра.

 

Теперь, используя (6.58), найдем порядок N и параметр w₀ фильтра нижних частот Баттерворта. Значения H _C и H _З выражены в децибелах (берутся абсолютные значения):

   

Так как N = 3, то из (6.64) выбираем выражение для полинома Баттерворта 3-го порядка B ₃(s ₀)и составляем запись для передаточной функции ФНЧ

                                                              (6.91)

где s ₀ = s /w₀ = s /(1,27w_C) = 0,79 s /w_C.

Далее, используя замену (6.88), получаем выражение для передаточной функции H (s)полосового фильтра Баттерворта

которое после преобразований и подстановки числовых значений W_C1 и W_С2 принимает вид:

               

где a ₀ = 4,0883∙10³³, a ₁ = 8,0795∙10²⁶, a ₂ = 1,0106∙10²⁰, a ₃ = 1,0114∙10¹⁶,

a ₄ = 4,8033∙10¹¹, a ₅ = 3,1600∙10⁴, b = 8∙10¹².

Обратим внимание, что при преобразовании ФНЧ в ПФ порядок фильтра увеличился вдвое. Такое же увеличение порядка происходит при преобразовании ФНЧ в РФ.