Ряды Тейлора и Маклорена

1.Если функция f(x)- многочлен степени n, то его можно разложить по формуле Тейлора для многочлена по степеням х-а, где а любое действительное число:

(1)

2.Если f(x)- любая функция, имеющая в некотором промежутке, содержащем точку а, все производные до порядка n включительно, то имеет место формула:

(2)

где - положительное число меньше 1,т.е.

Последнее слагаемое в формуле (2) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме, которую ему придал Лагранж. Обозначается остаточный член через R_n и, таким образом

(3).

Формула Маклорена. Если в (2) взять а=0, то получим частный случай формулы Тейлора:

(4),

где (5), где определяется неравенством .

Эта формула (4) называется формулой Маклорена.

Рядом Маклорена функции f(x), о которой предполагается, что она определена в окрестности точки 0, и в этой точке имеет конечные производные любого порядка, называется степенной ряд.

(6).

Функция f(x) будет суммой этого ряда только для тех значений х, при которых остаточный член (5) формулы Маклорена имеет своим пределом нуль, когда , т.е. когда (7).