Приближенным вычислениям

Применение степенных рядов к

В приближенных вычислениях степенные ряды играют большую роль. С помощью рядов были составлены таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, таблицы значений других функций, которые применяются в различных областях знаний.

6.1.Вычисление значений тригонометрических функций.

С помощью степенных рядов можно приближенно вычислять значения функций sinx и cosx. Чем больше абсолютные значения х, тем больше членов разложения необходимо взять, чтобы получить значения sinx или cosx с заданной точностью. Три малых значения х можно считать

Чтобы решить сколько членов разложения следует взять, надо оценить остаток ряда. Так как ряды sinx и cosx знакочередующиеся, то остаток по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена. Поэтому отбрасывают все члены, начиная с того, который по абсолютной величине меньше заданной погрешности вычисления.

Пример1. Вычислить с точностью до 0,00001 значение .

Переведем 10⁰ в радианную меру радиан.

Sin10⁰=sin0,174533=0,174533-

Первый отброшенный член , следовательно, сумма всех отброшенных членов меньше 10^-5.

Пример 2. Вычислить cos15⁰ с точностью до 0,00001.

радиан

Погрешность

С помощью степенных рядов и формул приведения составляются таблицы значений тригонометрических функций. sin63⁰=cos27⁰.

6.2. Приближенное извлечение корней.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,00001

Полученный ряд знакочередующийся, то величина погрешности не превосходит величины первого отброшенного члена.

Пример 4. Вычислить с точностью до 0,0001.