J X
Если функция не имеет ни одной первообразной, то она, конечно, не имеет и неопределенного интеграла. Такие функции называют неинте-грируемыми. Их следует отличать от функций, первообразные от которых существуют, но не выражаются через основные элементарные функции, см. § 7.10.
7.2 Таблица неопределенных интегралов
В отличие от вычисления производных, процесс вычисления интегралов состоит в ирименении различных искусственных приемов. Простейший тип таких приемов представляет собой приводимая ниже таблица неопределенных интегралов. По сути она представляет собой таблицу производных, прочитанную в обратном порядке: все формулы из этой таблицы доказываются непосредственным дифференцирование правой части.
x xdx dx = x 2 |
Теорема 42 (Таблица неопределенных интегралов).
α ^^ f dx
+ C, α = - 1 , |
x α dx = -------
α + 1
dx = x + C,
ijjjj —
x |
= 2 √x + C,
+ C, + C, |
ln |x| + C,
x
2 1
x
ax dx
ax ln a
+ C, a > 0, a = 1,
ex dx = ex + C,
cos x + C, |
sin x dx
tg x + C, |
dx = cos2 x
tg x dx = - ln | cos x| + C,
cos x dx dx
|
|
sin2 x
ctg x dx
sin x + C, ctg x + C, ln | sin x| + C,
+ C, |
dx
x 2 a 2
dx
x 2 + a 2
2 a 1 |
ln |
x-a
x + a x
arctg + C, aa
dx |
ln |x + v x 2 ± k| + C,
л x 2 ± k
2 = arcsin + C.
lnx±b\ + C, |
xdx 1
\/ x 2 ± b + C. |
x 2 ±b 2 xdx
лx2 ± b Таблицу неопределенных интегралов необходимо знать наизусть.
7.3 Непосредственное применение таблицы интегралов
Задача 28. Найдите интеграл J x^ dx.
Решение. Этот интеграл соответствует первой табличной формуле с α = 6. Поэтому
а+1
x^ dx = ---------- C
α + 1
6+1 7
xx
6 + 1 + C = 7 + C. °
Задача 29. Найдите интеграл / 1 dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
/1 dx =/ x-. dx.
Теперь видно, что этот интеграл соответствует первой табличной формуле с α = -9. Поэтому
—Tdx= / x- ^ dx = -------------- C =
x^ - 9 + 1
Задача 30. Найдите интеграл 3x'^dx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
/ √ 3 x ^ dx = x 4 |
x 4 dx = x 4 |
+ C = 7 + C 1 |
3 + |
3 √
3 x 3 3 7
= - + C = - x 3 + C. П
7 7
Правило: Чтобы посчитать интеграл от корня или от x, стоящего в знаменателе, надо записать их как степень x.
Задача 31. Найдите интеграл 5x dx.
Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J ax dx 1^ + C. Поэтому
5 x dx |
ax dx |
+ C |
+ C. |
ln a |
ln 5 |
ax _1 5 x
Замечание 4. Часто путают интегралы xα dx 1^ + C. Важно научиться их различать.
Задача 32. Найдите интеграл J2'^xdx. Решение. Преобразуем интеграл к виду
1 + C и ax dx
3 x |
23 x dx
3 x
dx
8 x dx.
ln a |
23 x dx |
+ C. |
Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J ax dx C. Поэтому
8 x dx = | 8 x ln 8 |
dx |
Задача 33. Найдите интеграл x 2 - д
Решение. Этот интеграл соответствует табличной формуле J x 2 d - x a 7j 1 ln| x x - a a | + C С a = 3. Поэтому
|
|
iLja I I I
ln |
+ C |
x
x 2 |
32 23 |
x +3 |
1 6 |
x |
x 2 9
+ C. |
x +3 |
ln
+
dx |
Задача 34. Найдите интеграл x 2 - —^- Решение. Имеем
x 2
x 2 |
(√ 5)
x |
√ 5
ln |
2 √ 5 x + √ 5
+ C.
Задача 35. Найдите интеграл /
dx л/ x 2 - 16'
Решение. Этот интеграл соответствует формуле J -x d x ± b = ln |x+лx 2 ± b| + C с b = 16. Поэтому
dx
л x 2 - 16
!/ |
√ |
ln |x + v x 2
ln |x + лx2 - 16 | + C. П
7.4 Основные свойства неопределенного интеграла
Теорема 43. Неопределенный интеграл обладает свойствами
(a) (J f(x) dx 1 = f(x) или, что равносильно, dij f(x) dx 1 = f(x) dx;
(b) / F'(x) dx = F (x) + C или, что равносильно, J dF(x) = F(x) + C;
(c) / αf(x) dx = α J f(x) dx, α = 0;
(d) /(f (x) ± g (x)) dx = / f(x) dx±J g(x) dx.
Свойства (a) и (b) теоремы 43 говорят, что интегрирование есть действие, обратное к дифференцированию (т. е. вычислению производных и дифференциалов), а свойства (с) и (d) — описывают простейшие свойства пеонределеиного интеграла, называемые аддитивностью и однородностью.
Задача 36. Найдите интеграл /
dx 36 x ^ ■
Решение. Преобразуем интеграл к виду
36 - x2 x 2 - 36
Теперь видно, что этот интеграл соответствует формуле J xр dx a = 2 1 a ln x x - + a a + C с a = 6. Поэтому
f dx f dx f dx
36 - x 2 J x 2 - 36 x 2 - 6 2
1 x - 6 1 x + 6 ^
=----- ln------- + C = —ln------- + C. П
12 x + 6 12 x-6
Задача 37. Найдите интеграл (x - 2 ex) dx. Решение.
Г x 2
xdx -2 I ex dx = ------------------- C1 - 2(ex + C2
= — - 2е x + C.
Здесь используется тот факт, что сумма и разность произвольных по
стоянных (C i - 2 C 2) — снова произвольная постоянная. П
Задача 38. Найдите интеграл /(2 + x) 2 dx.
Решение. Возведем в квадрат иодынтегральное выражение и преобразуем интеграл к виду
/(2 + x)2 dx =/(4 + 4 x + x 2) dx
= 4 / dx + 4 xdx + x2dx = Теперь видно, что эти интегралы вычисляются но таблице интегралов:
/ (2 + x)2 dx = 4 dx + 4 I xdx + x2dx =
/ x 2\ x-^ C
= 4 x + 2 x 2 + — + C. П
7.5 Интегралы с линейным аргументом
Теорема 44. Если известно, что
f f(u)du = F(u) + C, то для любых k = 0 и b ^М.
I f(kx + b)dx = k F(kx + b) + C, (7.i;
в частности,
/ f(x + b)dx = F(x + b) + C.
Иными словами, если требуется посчитать интеграл (7.1) от функции x 1-^ f(kx + b), имеющей линейный аргумент kx + b, то с линейным аргументом kx + b моукно обращаться как с одной буквой, но при этом в ответ следует внести поправочный множитель ^.
Доказательство. Как проверяется непосредственным дифференци
рованием, производная функции x i-^ 1 ^F(kx + b) совпадает с функцией
x 1-^ f(kx + b). П
Задача 39. Найдите интеграл с линейным аргументом:
/ e 2 ^'+5dx.
Решение. Заметим, что внутренней здесь является линейная функция x 1-^ 2 x + 5. Если заменить 2 x + 5 одной буквой, то получится табличный интеграл
В силу теоремы 44 инте 1 ес 1 ющий нас интеграл отличается от него поправочным множителем ^ = 2-
Способ оформления решения:
Ответ: 1 2 e 2^+5 + C. П
Задача 40. Вычислите интеграл
Решение. Внутренней здесь является функция x i-^ 4 x - 3. Если заменить 4 x - 3 одной буквой u, то получится интеграл:
1 | u 3
| 2 u 3 |
udu= 1 / ^ du = u 2---- C = u 2 + C = 2 u 2 + C
В силу теоремы 44 инте 1 есующий нас интеграл отличается от этого поправочным множителем |:
г ------ 1 2(4 x - 3) 2 (4 x - 3) 2
4 x-3 dx = - ■----------------- + C =-------------- + C.
4 3 6
Способ оформления решения:
√ √ 1 / 2 2 u 2
4 x- 3 dx = udu = u du = 3 + C
1 2(4 x - 3) 3 (4 x - 3) 3
4 · 3 2 + C = 6 2 + C.
Задача 41. Вычислите интеграл
f dx
2-7x
Решение.
du 1 u = ln |u| + C = - 7 ln | 2 - 7 x| + C. |
2 7 x
Ответ: - ^ln | 2 - 7 x| + C. П
Задача 42. Вычислите интеграл
/ e-x dx.
Решение.
Ответ: -e- "^ + C П
Задача 43. Вычислите интеграл
f 3 dx
x 2 - 4 x + 4 Решение. Вначале преобразуем исходный интеграл:
/ 3 dx I 3 dx / dx
x 2 - 4 x + 4 (x-2)2 (x-2)2
Теперь видно, что внутренней здесь является линейная функция x x-2.
3 dx
x 2 - 4 x + 4
(x - 2)2 u 2 u
- x - 2 x - 2
Ответ: -- 2 + C. П
7.6 Таблица дифференциалов
Напомним, что дифференциалом функции y = F(x) называют произведение F'(x) на неременную dx\
dF(x) = F'(x) dx.
Занисанную в терминах дифференциалов таблицу интегралов называют таблицей дифференциалов.