2014-02-24
366
Числовые ряды 120
Дифференциальные уравнения 109
Геометрические прилолсения определенного интеграла 102
9.1 Вычисление площадей плоских фигур................................... 102
9.2 Приближенное вычисление определенных интегралов... 106
10.1 Основные определения............................................................ 109
10.2 Математическая модель демографического процесса.... 110
10.3 Понятие о начальной задаче............................................ 111
10.4 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 112
10.5 Однородные дифференциальные уравнения......................... 115
10.6 Линейные дифференциальные уравнения.............................. 116
10.7 Как определить тип дифференциального уравнения.... 118
11.1 Основные определения............................................................ 120
11.2 Геометрический ряд................................................................ 121
11.3 Необходимый признак сходимости........................................ 122
11.4 Иптегральный признак сходимости....................................... 123
11.5 Гармонический ряд................................................................. 123
11.6 Признак сравнения.................................................................. 124
11.7 Признак Даламбера................................................................ 124
11.8 Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница.................... 125
11.9 Как выбрать признак для проверки числового ряда па схо
димость................................................................................ 126
11.10Абсолютно и условно сходящиеся ряды............................... 127
12.1 Факториалы............................................................................. 128
12.2 Определение степенного ряда................................................. 128
12.3 Теорема Абеля......................................................................... 128
12.4 Интервал и радиус сходимости.............................................. 129
12.5 Нахождение радиуса сходимости с помощью признака Да-ламбера 129
12.6 Ряд Макл'орена....................................................................... 131
12.7 Ряд Маклорепа функции у = ex......................................... 132
12.8 Ряд Маклорепа функции у = sin ж.......................................... 132
12.9 Ряд Маклорена функции у = cos ж......................................... 132
12.ЮРяд Маклорепа функции у = ln(1 + ж)............................ 132
12.11Ряд Маклорена функции у = (1 + ж) α.................................... 133
12.12Применение степенных рядов в приближенных вычислениях 133
Глава 1
Функции
1.1 Понятие множ:ества
Множеством, называют совокупность объектов, которые мы мыслим как единое целое. То, из чего состоит множество, называют его элементами. Множества обычно обозначают больгиими буквами, например, A, B, X, а их элементы — соответствуюгцими маленькими, например, a, b, x. Принадлежность и непринадлежность элемента множеству символически записывают так: x ^ X] y ^ A. Множества называют равным., если они состоят из одних и тех же элементов.
Для некоторых часто встречающихся множеств имеются стандартные обозначения. Например, ∅ — пустое множество, R — множество действительных чисел, Z — множество целых чисел, N — множество натуральных чисел; [ a, b ] — отрезок, (a, b) — интервал, [ a, b) — нолуинтервал, (a, +оо) — полуось.
Говорят, что ммоэюество A содержится или влож:ено в множ:ество B, если всякий элемент x, содержащийся в A, содержится и в B. Обозначение: A С B.
Универсальное мможество — содержащее все множества, участвующие в дайной задаче. Обозначение: U.
Множества можно задавать путем перечисления элементов:
{ 2,4,6,8 ,...} или путем указания характерного свойства:
(0,1] = {x:0<x< 1 }.
1.2 Операции над множ:ествами
Диаграмма Венна — рисунок, на котором универсальное множество изображается прямоугольником, а его характерные подмножества — кругами.
|
Рис. 1: Диаграмма Веииа
Объединением множеств A и B называют множество элементов, принадлежащих либо A J либо B J либо как A, так и B. Обозначение: AU B.
Пересечением множеств A и B называют множество элементов, принадлежащих как A, так и B. Обозначение: AГ\ B.
|
|
Рис. 2: Объединение и пересечение
Разностью множеств A и B называют множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначение: A\ B.
Дополнением к множеству A называют разность U и A. Обозначение: A.
|
|
Рис. 3: Разность и дополнение
1.3 Абсолютная величина числа
Абсолютной величиной или модулем числа x G М называют число
x, если x > 0, |x| = 0, если x = 0, x, если x < 0
или компактнее (но менее симметрично)
x, если x 0,
x
x, если x < 0.
(i-i;
Геометрически x есть расстояние от точки x до начала координат, а
|x — a| — расстоя || от x до a.
Теорема 1. —|x| < x < |x|.
Теорема 2. Для любых чисел a G М и ε > 0 неравенство |x — a| < ε означает, что
a — ε < x < a + ε.
Множество всех x, удовлетворяющих неравенству |x — a| < ε, называют ε-окрестностью точки a.
Теорема 3. Для любого N > 0 неравенство |x| > N означает, что
x < N или N < x.
7
Рис. 4: \x\ есть расстояние от точки x до начала координат
