Линеаризация уравнений дирижабля сигарообразной формы, движущегося вдоль прямой линии

Рассмотрим пример составления линеаризованной модели дирижабля, движущегося вдоль прямой линии в вертикальной плоскости при постоянных скоростях, т.е.:

. (2.159)

Подставим (2.159) в уравнения кинематики общей модели дирижабля (2.48), в результате чего получим следующую систему:

. (2.160)

Из (2.160) получаем систему уравнений

(2.161)

решая которую, находим значения скоростей в установившемся режиме

. (2.162)

Теперь определим значения динамических сил в желаемом режиме движения дирижабля, которые, в отличие от случая, рассмотренного в предыдущем пункте, не равны нулю. Для этого в выражения (2.49) необходимо подставить значения номинальных параметров. При этом аэродинамические коэффициенты определяются из графиков, представленных на рис. 2.19 – 2.25, и построенных в зависимости от угла атаки и скольжения, которые для данного случая равны:

В этом случае динамические силы в желаемом режиме равны:

, (2.163)

Как и в предыдущем случае, будем полагать, что номинальные значения внешних неизмеряемых возмущений равны нулю. Воздействия, обусловленные силой тяжести и силой Архимеда, определяются выражениями (2.38) – (2.43), которые в точке (2.159), (2.162) равны:

. (2.164)

Тогда вектор управляющих сил и моментов в установившемся режиме равен:

. (2.165)

Вектор управляющих сил и моментов можно разделить на создаваемый аэродинамическими управляющими поверхностями и определяемый движителями дирижабля. В этом случае система уравнений, определяющая положение управляющих элементов в желаемом состоянии дирижабля, равна:

. (2.166)

Чтобы получить в явном виде зависимости аэродинамических коэффициентов от положений аэродинамических рулей , воспользуемся аппроксимацией графиков, представленных на рис. 2.28, полученной по минимуму СКО при использовании квадратичных полиномов для многомерной аппроксимации, осуществляемой посредством автоматизированной процедуры Surface Fitting Toll программного пакета Matlab.

. (2.167)

Аналогично вычисляются коэффициенты , , , , .

. (2.168)

. (2.169)

. (2.170)

. (2.171)

. (2.172)

С учетом выражений 2.168 – 2.172 система (2.166) принимает вид:

. (2.173)

Решая систему (2.173), получаем значения управляющих сил и моментов в установившемся режиме:

. (2.174)

Теперь приступим непосредственно к линеаризации уравнений дирижабля. Вычислим частные производные от правых частей (2.120) по переменным состояния в точке (2.159), (2.162). В результате получим выражения, аналогичные равенствам (2.131) – (2.133).

Таким образом, линеаризованная система (2.18) принимает вид (2.133).

В (2.6) примем обозначения (2.135) и линеаризуем уравнения (2.6). В результате получим уравнение (2.6) в виде:

. (2.175)

Тогда уравнения кинематики (второе уравнение модели дирижабля (2.48)) принимает вид:

. (2.176)

Теперь, аналогично рассмотренному ранее случаю, линеаризуем уравнения динамики дирижабля относительно положения (2.159), (2.162). При этом рассматривается дирижабль сигарообразной формы с параметрами, такими же, как и в предыдущем случае.

Для выбранного типа дирижабля матрица массо-инерционных параметров определяется выражением (2.49).

Теперь рассмотрим функции, входящие в правые части уравнений динамики в (2.48). Вектор динамических сил определяется выражениями (2.50) для точки (2.159), (2.162). При этом полагается, что . Производные вычисляются по таблицам аэродинамических коэффициентов в предположении, что , а зависимости определяются путем двумерной аппроксимации при заданной скорости .

. (2.177)

(2.178)

Аналогичным образом вычисляются коэффициенты , , , , и определяются коэффициенты линеаризации сил , , , , .

. (2.179)

. (2.180)

. (2.181)

. (2.182)

. (2.183)

Далее, аналогично предыдущему случаю, вычисляем коэффициенты линейной модели для управляющих воздействий. используя выражения (2.014). Вычисления здесь не приводятся.

В результате линеаризованные уравнения динамики (первое уравнение (2.48)) имеют вид:

, (2.184)