Приводимые и неприводимые многочлены

в кольце Р[х].

Определение 1. Многочлен f(x) ¹ 0 из Р[х] называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения многочленов выше нулевой степени, т.е. f(x) = g(x)×h(x), где cm g(x) < cm f(x) & cm g(x) ¹ 0, cm h(x) < cm f(x) &cm h(x) ¹ 0.

Определение 2. Многочлен f(x)ÎP[x] называется неприводимым над полем P, если:

1. cm f(x) > 0,

2. f(x) не разлагается в произведение многочленов меньшей степени.

Пример 1. Многочлен f(x)=x²+ 1 = (x - i)(x + i) приводим над полем С и неприводим над полем R и Q.

Многочлен h(x) = x²- 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) приводим над Q, R и С.

Замечание 1. Многочлены нулевой степени не входят в класс приводимых и неприводимых многочленов, а образуют свой класс, т.е. если множество натуральных чисел мы разбили на три класса:

1. единица;

2. простые числа;

3. составные числа,

то и множество Р[х] разбивается на три класса:

1. многочлены нулевой степени (а_iÎР);

2. приводимые многочлены;

3. неприводимые многочлены.

Замечание 2. Приводимость многочленов зависит от поля Р. (смотри прим. 1)

Также как в кольце Z, в кольце Р[х] можно доказать аналог основной теоремы арифметики.

Теорема "f(x) ¹ 0, f(x)ÎP[x], cm f(x)>0 разлагается в произведение неприводимых многочленов единственным способом, с точностью до порядка следования многочленов нулевой степени.

Доказать самостоятельно теорему и следствие из неё.

Следствие. Если f(x) = c₁p₁^a¹(x) p₂^a²(x)×...× p_k^a^k(x),

g(x) = c₂p₁^b¹(x) p₂^b²(x)×...×p_s^b^s(x), то

(f, g) = cp₁^g¹(x) p₂^g²(x)×...×p_m^g^m(x), где g_i = min(a_i, b_i)

[f, g] = c₃p₁^d^l(x) p₂^d²(x)×...×p_n^dⁿ(x), где d_i = mах(a_i, b_i)

Покажем, что задача о разложении многочлена на линейные множители (многочлены первой степени) сводится к задаче нахождения корней многочлена f(x) в поле Р.

Пусть f(x)=a_nxⁿ+ a_n_-1xⁿ^-1+...+ a₁x + a₀ и aÎР. Подставим вместо х в f(x) a. Получим, f(a)=a_naⁿ + a_n_-1aⁿ^-1+...+a₁a+a₀ = cÎP. Элемент (с) называют значением многочлена f(x) при х = a и записывают: f(a) = c.