Как указывалось выше, исследование системы автоматического регулирования сводится к анализу решений дифференциального уравнения системы. Заметим, что в дальнейшем будем рассматривать только линейные САР. При решении дифференциального уравнения в теории автоматического регулирования применяют так называемое преобразование Лапласа, позволяющее упростить процесс этого решения.
В качестве примера рассмотрим линейную систему автоматического регулирования, которая подвергалась возмущающему входному воздействию, начиная с момента времени . При этом в системе возникает переходный процесс, описываемый линейным дифференциальным уравнением n -го порядка (поэтому систему автоматического регулирования называют линейной).
В левой части уравнения записываются выходные величины y и их производные, в правой – входные величины x и их производные.
.
Преобразование Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому. Оно преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного , где .
|
|
Функция называется оригиналом, а – изображением по Лапласу этого оригинала.
Прямое преобразование Лапласа функции запишем:
.
Дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа представим в виде:
,
где – изображение функции .
Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией звена системы и записывают в виде:
,
где и – полиномы соответственно числителя и знаменателя.
Таким образом, если известно дифференциальное уравнение системы, то известна и её передаточная функция и, наоборот, при известном выражении для передаточной функции известно и дифференциальное уравнение системы.
Оперирование передаточными функциями динамических звеньев системы управления при её анализе очень удобно, поскольку позволяет в краткой математической форме представить взаимодействия звеньев и состояние всей системы в целом.
При анализе системы автоматического регулирования стараются расчленить её на элементы и представить их типовыми звеньями с известными передаточными функциями. Основные типовые звенья и их передаточные функции представлены в табл. 1.1.
Чтобы найти передаточную функцию всей системы, приходится оперировать с различными соединениями элементарных динамических звеньев, образующих структурную схему системы. Эти соединения бывают трёх типов: последовательные, параллельные и встречно-параллельные.
При последовательном соединении n звеньев (рис. 1.15) передаточная функция этого соединения равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:
|
|
,
где – номер каждого звена.
Рис. 1.15. Последовательное соединение звеньев
Т а б л и ц а 1.1
Основные типовые звенья систем автоматического регулирования
№ п/п | Наименование звена | Уравнение звена | Переходная характеристика | Передаточная функция | ||||
Безынерционное (пропорциональное) |
| |||||||
Инерционное (апериодическое 1-го порядка) |
| |||||||
Колебательное | ||||||||
Интегрирующее | ||||||||
Дифференцирующее | ||||||||
Запаздывающее |
При параллельном соединении n звеньев (рис. 1.16) передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:
.
Рис. 1.16. Параллельное соединение звеньев
При встречно-параллельном (рис. 1.17) соединении (система с отрицательной обратной связью) передаточная функция равна отношению передаточной функции прямой цепи к передаточной функции всей системы в её разомкнутом состоянии , увеличенной на единицу:
,
где .
– передаточная функция обратной связи.
Рис. 1.17. Встречно-параллельное соединение звеньев:
а – точка разрыва обратной связи; ЭС – элемент сравнения, зачернённый сектор обозначает вычитание сигнала
Уравнение свободного движения разомкнутой системы регулирования можно получить, если приравнять нулю правую часть дифференциального уравнения ; в результате получим . Уравнение свободного движения замкнутой системы регулирования с отрицательной обратной связью записывается в виде:
.
На основании этого уравнения можно определить устойчивость САР, воспользовавшись одним из критериев устойчивости, приведённым в литературе. Определение же качества регулирования требует получения решения дифференциального уравнения в виде переходной характеристики регулирования.