2015-03-22
677
Управляемый свободный процесс в системе определяется парой матриц A, B объекта управления и матрицей 
регулятора состояния, призванной обеспечивать оптимальность переходных свободных движений при произвольных начальных значениях вектора состояния X (0). На первом этапе синтеза будем полагать равными нулю все внешние аддитивные воздействия 
. Тогда управление свободным движением примет вид
(10.20)
Для нахождения матрицы воспользуемся теоремой об n интервалах дискретного управления в сочетании с принципом оптимальности Беллмана [5]. Не снижая общности выкладок будем полагать, что оптимальное свободное движение системы завершается через n тактов дискретного управления в нулевой точке пространства состояний 
. Сформируем расширенный вектор-столбец состояния
V (t) = col [ X (t), U (kT)] (10.21)
и перепишем уравнение для случая управляемого свободного движения в виде
(10.22)
где D – матрица управляемого состояния размерности (n+m)´(n+m),
. (10.23)
Зададимся некоторой произвольной дискретной управляющей последовательностью U (kT), k = –1, –2,..., – n и рассмотрим движение системы в обратном времени, т. е. примем конечное нулевое состояние системы за начальное. Проинтегрируем уравнение (10.22) при нулевых начальных условиях X (0) = 0, воспользовавшись аппаратом переходных матриц состояния, получим векторное дискретное уравнение состояния
|
|
|
(10.24)
где 
– расширенная обратная матрица перехода.
Сформируем матрицы дискретного управления W размерности 
и дискретного состояния G размерности 
в виде
W = [ U(- T) U(-2 T)... U(- nT) ], (10.25)
G = [ X(- T) X(-2 T)... X(- nT) ]. (10.26)
Поскольку не наложены какие-либо ограничения на множества управляющих воздействий и дискретные состояния системы, а также, по определению, система находилась в нулевом начальном состоянии, очевидно, что ее движение в обратном (по отношению к принятому при синтезе) направлении будет носить оптимальный по быстродействию апериодический характер. Следовательно, с учетом выражения (10.20) искомую матрицу можно найти в виде
. (10.27)
Решение векторно-матричного уравнения (10.27) будет единственным при полном ранге матрицы G,т. е. если rank (G) = n.
