Замечания

1) В вышеизложенном определении равенство направленных отрезков зависит от системы координат w. Естественно возникает вопрос, возможно ли, что направленные отрезки равны в одной декартовой системе координат и не равны в другой системе координат? (То есть возникает вопрос о корректности определения).

2) Для любых двух точек A,B ÎEⁿ в любой системе координат = .

Лемма. Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ, и пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w. = тогда, и только тогда когда середины отрезков AD и BC совпадают (то есть отрезки AD и BC имеют общую середину).

Доказательство:

= Û _b- _a= _d - _c Û _b+ _c= _a+ _d Û 1/2( _b+ _c) = 1/2 ( _a+ _d) Û середины отрезков AD и BC совпадают.

Корректность определения равенства направленных отрезков: Так как понятие середины отрезка и совпадение точек не зависит от выбора системы координат, то согласно доказанной лемме и равенство направленных отрезков тоже не зависит от выбора системы координат.

Следствие. (геометрический смысл равенства направленных отрезков).

Пусть точки A,B,C, D Î Eⁿ такие, что A,B и С не лежат на одной прямой.. Тогда для того, чтобы выполнялось равенство = необходимо и достаточного, чтобы четырехугольник ABDC был параллелограммом.

Теорема. Отношение равенства на множестве всех направленных отрезков в Eⁿ является отношением эквивалентности.

Доказательство:

Проверим, что отношение равенства направленных отрезков обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

1) Рефлективность. Для любых двух точек A,B Î Eⁿ = , так как =

2) Симметричность. Для любых точек A,B,C,D Î Eⁿ если = , то = , то есть = и =

3) Транзитивность Для любых точек A,B,C,D,E,F Î Eⁿ если = и = , то = и = , то есть = и =

Итак, множество всех направленных отрезков в Eⁿ разбивается на классы эквивалентности по данному отношению равенства.

Определение. Вектором (в Eⁿ) будем назвать класс эквивалентности равных направленных отрезков (в Eⁿ).

Направленный отрезок, принадлежащий данному классу (вектору), будем называть представителем этого вектора.