Определение: Определённым интегралом по отрезку [a;b]от функции f(x) называется предел интегральной суммы , если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (∆xi) стремится к нулю, т.е
Числа a,bназываются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, т.е [a;b]-отрезок интегрирования.
Свойства определённого интеграла по [a;b].
1.
2.
3.
4.
5. С- постоянная
Правила вычисления определённого интеграла по [a;b]
функция для f(x), |
2. - интегрирование по частям.
3. , где x=j(t) функция непрерывная вместе со своей производной
на [a;b]
Например: Найти значение определённого интеграла
Решение:
Решаем методом подстановки
x | e | |
t |
Положим
Тогда
8.1 Несобственные интегралы.
К несобственным интегралам относятся:
- Интегралы с бесконечными пределами интегрирования вида:
|
|
- Интегралы от разрывных функций (от неограниченных функций).
Пример 1. - несобственный интеграл 2) типа, т.к на отрезке [-2;9]функция терпит бесконечный разрыв в точке x=0.
Пример 2. Вычислить
Решение
Пример 3. Вычислить
Решение:
Т.к - чётная функция.
Тогда
Замечание. Если предел несобственного интеграла существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
8.2 Приложения определённого интеграла по [a;b]
1. -площадь криволинейной трапеции, где y=f(x)- кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, aABb- криволинейная трапеция.
y |
B |
A |
a |
b |
2. - площадь криволинейной трапеции, если кривая задана
параметрически:
3. - площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах, где r= r(a) - уравнение кривой.
- вычисление длины дуги кривой y=f(x) на [a;b]
5. Вычисления объёма тела вращения.
y |
a |
b |
x |
6. Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y=f(x), (a £ x £ b) вычисляются по формулам (соответственно):
где - дифференциал дуги кривой y=f(x)
7. Координаты центра тяжести однородной дуги плоской кривой y=f(x) (a £ x £ b)
выражаются формулами:
где L-длина дуги.