Примеры построения смежных классов

1°. Рассмотрим группу S ₃ (группа перестановок 3^х элементов).

Левые смежные классы группы S ₃ по подгруппе B = { P ₁, P ₂} состоит из классов:

B; P ₅ B = P ₄ B = { P ₄, P ₅}; P ₃ B = P ₆ B = { P ₃, P ₆}.

Правые смежные классы группы S ₃ по подгруппе B = { P ₁, P ₂} состоит из классов:

B; BP ₆ = BP ₄ = { P ₄, P ₆}; BP ₅ = BP ₃ = { P ₃, P ₅}.

Здесь множество левых и правых смежных классов не совпадают.

Однако … левые и правые смежные классы группы S ₃ по подгруппе A = { P ₁, P ₅, P ₆} совпадают: A; AP ₂ = P ₂ A = { P ₂, P ₃, P ₄}.

В данном случае подгруппа А – есть нормальный делитель группы S ₃.

2°. В множестве целых чисел Z рассмотрим аддитивную подгруппу чисел, делящихся на пять: A ₅ = {…, –10, –5, 0, 5, 10, …}.

Левые и правые смежные классы здесь такие, {…, –9, –4, 1, 6, 11, …} – множество чисел, которые при делении на пять дают в остатке единицу. Аналогично – множества чисел, которые при делении на пять, дают в остатке 2, 3, 4 соответственно.

Все левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами. Таким образом, A ₅ – нормальный делитель группы Z. Если обозначить B ₅ множество целых чисел, не делящихся на пять, то можно записать Z = A ₅´ В ₅, где знак обозначает прямое произведение.

Замечание: Множество классов образую аддитивную группу с нейтральным элементом .

Эта группа называется фактор-группой группы Z по подгруппе A ₅ и обозначается Z / A ₅.