Полевые интерференционные системы и веерные фильтры

Под полевыми интерференционными системами понимаются групповые источники и группы приемников. Веерные фильтры являются их лабораторным аналогом. Сущность алгоритма этого вида фильтров можно уяснить на примере линейной продольной равномерной интерференционной системы. Пусть система имеет нечетное число элементов М = 2m + 1 с шагом между ними, равным Dх. Чувствительность элементов m_i, где i – номер элемента (- m £ i £ m), результат фильтрации будет отнесен к центральному элементу системы (i = 0). Упругие волны на базе системы, равном 2m могут считаться идеально-регулярными.

Пусть некоторая волна, имеющая кажущуюся скорость V^* создает в центральном элементе сигнал f₀(t) = m₀×f(t). Тогда сигнал на i-том элементе будет

f_i(t) = m_i×f(t – Dt_i) = m_i×f(t – Dx_i / V^*) = m_i×f(t – i×Dx / V^*) = m_i×f(t – i×Dt), (27)
где Dt = Dx / V^*.

Сигнал на выходе системы f _вых (t) = = .

В частотной области f(t) Û S(w) и f _вых (t) Û S_вых(w). Согласно теореме запаздываний S_вых(w) = = S(w)×H(w, Dt) (28)
где H(w, Dt) = – комплексная частотная характеристика системы. (29)

Из выражения (29) видно, что максимальное значение комплексной частотной характеристики, равное H(w, Dt) = , достигается при Dt ® 0 (V^*® ∞), т.е. рассматриваемая интерференционная система наилучшим образом пропускает волны с высокими кажущимися скоростями и ослабляет волны с низкими значениями кажущихся скоростей.

Заменяя в показателе степени экспоненциального члена выражения (29) произведение w×Dt = = k_xDx можно получить зависимость комплексной частотной характеристики от волнового числа k_x: H(w, Dt) = (30)

Характеристику фильтра во временной области можно получить, применяя к
H(w, Dt) преобразование Фурье: h(i,Dt) = (31)
или в дискретной форме: h(i,Dt) = (32)
где l – номер гармоники,
w_l – круговая частота l-ной гармоники,
Dw = 1/(N×dt) – шаг по частоте гармоник.

Для однородной интерференционной системы, где m_i = const(i) (условно можно считать m_i = 1), используя формулу Эйлера (e^{± j×a} = cos a ± j×sin a), можно получить выражения для комплексной частотной характеристики в явном виде:

H(w, Dt) = или H(k_x, Dx) = (33)

Веерный фильтр

При работах МОВ область наблюдения тяготеет к пункту возбуждения. Поэтому кажущиеся скорости отраженных волн изменяются от ¥ до (или ). Тогда комплексную частотную характеристику веерного фильтра можно определить как:

H(w, k_x) = ì 1 при (34)

î 0 при

Характеристику веерного фильтра во временной области можно получить используя двумерное Фурье-преобразование (19)

h(t,x) =

Последовательно применяя Фурье-преобразование с учетом пределов интегрирования (-¥ < w < ¥ по частоте и по волновому числу) и значению H(w, k_x) в этих пределах (27), получим: h(t,x) = (35)

В дискретной форме: h_{x, i} = (36)
где N, i – количество отсчетов на сейсмотрассе и номер отсчета;

dt – шаг дискретизации;

Dw = 1/(N×dt) – шаг по частоте гармоник.

Аналогичным образом можно построить режекторный веерный фильтр, вырезающий область

ì 1 при

H(w, k_x) = í (30)

î 0 при