Интервальная оценка индивидуального значения зависимой переменной

Одной из основных задач эконометрического анализа является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях Хпр объясненной переменной.

Предположим, что мы построили некое эмпирическое значение парной регрессии ỹ_i=b₀+b₁x_i, на основе кот-го хотим предсказать среднюю величину зависимой переменной у при х=х_пр. В данном случае рассчитанное по уравнению величина ỹ_пр=b₀+b₁x_пр является только оценкой для искомого матожидания.

Встает вопрос насколько эта оценка отклоняется от среднего матожидания для того, чтобы ей можно было доверять с надежностью γ=1-α.

Чтобы построить доверит интервал, покажем, что случайная величина ỹ_пр имеет норм распределение с некоторыми конкретными переменными.

Мы знаем, что ỹ_пр=b₀+b₁x_пр. Подставим в это уравнение значение для bo и b1, найденное в виде лин комбинаций выборочных величин объясняющей переменной yi.

Т.е. расчетная величина действительного имеет норм распред-ие и мы находим матожидание и дисперсию.

М(Ỹпр)=M(bo+b1Xпр)= βo+Xпрβ1

D(Ỹпр)=D(bo+b1Xпр) = D(bo)+X²прM(b1)=2cov(bo,b1Xпр)***=

Рас-м вел-ну ковариации.

Заменим вел-ну bo ч/з правило ее вычисления из эмпир ур-ия регр-ии, аналог-но поступим со знач-ем βо, записав его знач-ие ч/з теорет ур-ие регр-ии.

Тогда получаем

-

это дисп-ия для значения b1

Мы знаем вел-ну дисп bo и b1. Подставим сюда их значения:

Преобразуем данное выр-ие прибавив и отняв к скобке

В этом выр-ии заменяем σ² несмещенной оценкой по эмпир ур-ию регр-ии σ²=∑ei²/n-2 и тогда мы м рассчитать Т стат-ку

, получаемого из значения теорет дисп-ии заменой дисп теорет откл-ия σ² на So², вычис-ое по выборке ∑ei²/n-2. Используя табл. Стьюдента, можем вычесть вероятность того, что |T|≤tрасч

Тогда ν=n-2.

Таким образом, сделав такие же преобразования как для коэффициентов в уравнения, получаем, что