2015-05-26
1727
Задача 6. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов и трех сопротивлений (рис. 14). В этой цепи R 1 = 100 Ом; R 2 = 50 Ом; R 3 = 20 Ом; e 1 = 2 В; e 2 = 4 В. Определить силу тока во всех участках цепи. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
| Дано: R 1 = 100 Ом; R 2 = 50 Ом; R 3 = 20 Ом; e 1 = 2 В; e 2 = 4 В | |
| Найти: I 1, I 2, I 3 |
Решение.
Для расчета разветвленных цепей применим правила Кирхгофа. В каждом контуре (см. рис. 14) выберем (произвольно) и укажем направление тока. Условимся обходить контуры по ходу часовой стрелки. В цепи есть два узла – F и D (т. е. N = 2). Значит, первое правило Кирхгофа можно записать только для одного из них (т. е. 
). По первому правилу Кирхгофа для узла D имеем:
I 1 - I 2 - I 3= 0, (73)
где ток I 1 взят со знаком «плюс», поскольку течет к узлу D, a токи I 2 и I 3 – со знаком «минус», так как они текут от узла.
Так как в цепи всего три ветви: FABCD (первая), DMKF (вторая), FD (третья) (т. е. Р = 3), а в решении записано всего одно уравнение, то необходимо записать еще два уравнения.
|
|
|
По второму правилу Кирхгофа для контура ABCDFA имеем:
- I 1 R 1 - I 2 R 2 = - e 1; (74)
для контура FDMKF –
I 1 R 1 + I 3 R 3 = e 2. (75)
Подставим данные задачи в уравнения (74), (75), получим систему линейных уравнений:
I 1 - I 2 - I 3= 0;
-100 I 1 – 50 I 2 = 2; (76)
100 I 1 – 50 I 3 = 4.
Упростим систему (76):
I 1 - I 2 - I 3= 0;
50 I 1 + 25 I 2 = –1; (77)
25 I 1 + 5 I 3 = 1.
Решим систему (77) методом Крамера. Составим и вычислим определитель D системы (77):
Составим и вычислим определители при неизвестных D1, D2, D3:
Найдем численные значения токов:
I 1 = D1/D; I 1 = 3×10-2 А;
I 2= D2/D; I 2 = –2×10-2 А;
I 3= D3/D; I 3 = 5×10-2 А.
Проверим решение задачи. По первому правилу Кирхгофа
I 1 - I 2 - I 3= 0; (78)
Подставим в уравнение (78) численные значения:
3×10-2 = –2×10-2 + 5×10-2.
Равенство справедливо.
Ответ: I 1 = 3×10-2 А; I 2= –2×10-2 А; I 3= 5×10-2 А.
