double arrow

Закон Гаусса

Сумма всех свободных и связанных зарядов, заключенных в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью S, пропорциональна потоку вектора напряженности электрического поля через эту поверхность:

где относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика (безразмерная величина).

Для вакуума = 1.

Произведение относительной диэлектрической проницаемости на электрическую постоянную называется абсолютной диэлектрической проницаемостью :

Пример 1.2. Определить напряженность однородного электрического поля равномерно заряженной пластины с плотностью заряда 8= Ю-10 Кл/м2 и разность потенциалов между точками 1 и 2, расположенными на расстояниях ах = 1 м и а2 = 3,5 м от заряженной пластины вдоль силовой линии поля (см. рис. 1.4).

Решение. По теореме Гаусса (1.8) поток вектора напряженности электрического поля через поверхность куба с площадью граней S равен

Разность потенциалов между точками 1 и 2 по формулам (1.6) и (1.7) равна

1.3. Электрическая емкость, конденсаторы и емкостные элементы

Конденсатором называется устройство, служащее для накопления зарядов.

На рис. 1.7, а изображен простейший плоский конденсатор с двумя параллельными обкладками каждая площадью S, которые находятся в вакууме на расстоянии d друг от друга.

Если между верхней и нижней обкладками конденсатора приложить напряжение иаЬ > О, то на верхней и нижней обкладках конденсатора накопятся одинаковые положительный и отрицательный свободные заряды ±qCB = ±q.

Накопленный в конденсаторе заряд q пропорционален приложенному напряжению иаЬ = ис

где коэффициент пропорциональности С называется электрической емкостью (емкостью) конденсатора.

Единица измерения емкости в СИ — фарад (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В = = 1А*с/В.

Между обкладками плоского конденсатора электрическое поле будет однородным (если не учитывать краевого эффекта) с напряженностью (см. пример 1.2)

Сравнив соотношения (1.9) и (1.10), получим выражение для емкости плоского вакуумного конденсатора:

.

Для увеличения емкости плоского конденсатора пространство между его обкладками заполняют диэлектриком (рис. 1.7, б).

Под действием электрического поля хаотически ориентированные в пространстве дипольные молекулы диэлектрика приобретают преимущественное направление ориентации. При этом внутри однородного диэлектрика положительные и отрицательные заряды дипольных молекул компенсируют друг друга (на рис. 1.7, б отмечено штриховой линией), а на границах с обкладками плоского конденсатора остаются некомпенсированные слои связанных зарядов . На границе с обкладкой, заряженной положительно (отрицательно), располагается слой отрицательных (положительных) связанных зарядов. При наличии связанных зарядов напряженность электрического поля внутри конденсатора уменьшается:

Отсюда следует, что при той же напряженности электрического поля, а следовательно, и напряжении иаЬ = ис заряд q должен быть больше. Поэтому увеличится, как следует из (1.8), и емкость плоского конденсатора с диэлектриком по сравнению с емкостью такого же вакуумного конденсатора:

(1.11)

В табл. 1.1 приведены значения параметров некоторых диэлектриков;

Электрической прочностью диэлектрика εп называется предельная напряженность электрического поля еще не вызывающее электрического пробоя изоляционного материала.

Электрический пробой — лавинный пробой (резкое уменьшение сопротивления изоляции с одновременным неконтролируемым увеличением тока через диэлектрик), связанный с тем, что носитель заряда на длине свободного пробега приобретает энергию, достаточную для ионизации молекул кристаллической решётки или газа и увеличивает концентрацию носителей заряда. При этом создаются свободные носители заряда (увеличивается концентрация электронов), которые вносят основной вклад в общий ток. Генерация носителей происходит лавинообразно.

в табл. 1.2 — условные графические обозначения конденсаторов;

в табл. 1.3 — характеристики некоторых типов конденсаторов на основе различных диэлектриков.

Очень большой емкостью обладают электролитические конденсаторы (до 15000 мкФ), в которых используется, например, тонкая оксидная пленка алюминия. Оксидная пленка является диэлектриком только при одном направлении напряженности электрического поля. По этой причине электролитические конденсаторы пригодны только при одной полярности приложенного к ним относительно невысокого напряжения (5—450 В).

Так как электрическое поле всегда существует между различными деталями электротехнических устройств, находящихся под напряжением, между ними есть электрическая (паразитная) емкость.

Линейный емкостный элемент является составляющей схемы замещения любой части электротехнического устройства, в которой значение заряда пропорционально напряжению. Его параметром служит емкость С = const.

Кулон-вольтной характеристикой конденсатораq(uc). - зависимость величины заряда конденсатора от напряжения на его обкладках.

Если зависимость заряда от напряжения нелинейная, то схема замещения содержит нелинейный емкостный элемент, который задается нелинейной кулон-вольтной характеристикой q(uc).

На рис.1.8 приведены кулон-вольтные характеристики линейного (линия а) и нелинейного (линия Ь) емкостных элементов, а также условные обозначения таких элементов на схемах замещения.

Если напряжение, приложенное к емкостному элементу, изменяется (увеличивается или уменьшается), то изменяется и заряд, т.е. в емкостном элементе есть ток.

Положительное направление тока в емкостном элементе выберем совпадающим с положительным направлением приложенного к нему напряжения (см. рис. 1.7, в). По определению ток равен скорости изменения заряда:

(1.12)

В линейном емкостном элементе с учетом (1.9) ток равен

(1.13)

Если за время t1 напряжение на емкостном элементе изменится от нуля до то электрическом поле элемента будет накоплена энергия

или с учетом (1.12)

(1.14)

где q1 — значение свободного заряда при напряжении ис= ис1.

Энергия электрического поля емкостного элемента при напряжении ис (см. формулу (1.14)) пропорциональна соответствующей площади, заключенной между кулон-вольтной характеристикой и осью ординат (см. рис. 1.8, где заштрихована площадь, пропорциональная энергии электрического поля нелинейного емкостного элемента при напряжении иС1).

Энергия электрического поля линейного емкостного элемента при напряжении ис из (1.14) с учетом (1.9) равна

. (1.15)

Емкостные элементы можно рассматривать в качестве аккумуляторов энергии.

1.4. Способы соединения конденсаторов

Возможны параллельное и последовательное соединения конденсаторов.

При параллельном соединении (рис. 1.9) все конденсаторы находятся под одним напряжением U, а заряд, который они получают от источника энергии, равен сумме зарядов отдельных конденсаторов

где п — число конденсаторов;

к — порядковый номер конденсатора.

Следовательно, общая емкость параллельно соединенных конденсаторов по (1.9)равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.10) общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах

где п — число конденсаторов;

к — порядковый номер конденсатора.

Но заряд от источника энергии получают лишь внешние электроды двух крайних конденсаторов. На остальных попарно электрически соединенных электродах заряды создаются переносом положительного заряда на один электрод и отрицательного — на второй, которые равны между собой. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов их заряды одинаковы.

Так как заряд конденсатора равен произведению его емкости на приложенное к нему напряжение

то напряжения на конденсаторах равны

а общая емкость последовательно соединенных конденсаторов — Собщ

Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов каждый емкостью С0, то их общая емкость будет равна


1.5. Зарядка и разрядка

конденсатора

Чтобы изменить скачком энергию конденсатора, необходим источник бесконечной мощности что невозможно.

Поэтому при зарядке и разрядке конденсатора его энергия, а следовательно, и напряжение на нем Uс не могут изменяться скачком. Это условие называется первым законом коммутации и записывается в виде

(1.16)

где и — моменты времени, непосредственно предшествующий моменту времени и непосредственно следующий за моментом времени t, в который начинается зарядка или разрядка конденсатора.

Зарядка конденсатора.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения Е=U (см. подразд. 2.7) через резистор сопротивлением R (см. подразд. 2.4) при замыкании в момент времени t=0 ключа К (рис. 1.11, а).

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе и конденсаторе

или с учетом (2.1) и (1.13)

(1.17)

Разделим переменные в (1.17)

(1.18)

и проинтегрируем (1.18)

(1.19)

где неизвестная постоянная интегрирования записана в виде In А.

Умножив обе части равенства (1.19) на (-1) и заменив разность логарифмов логарифмом частного, после потенцирования получим

или

(1.20)

Для определения постоянной А в (1.20) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (1.16). Примем, что емкостный элемент до замыкания ключа, т. е. и в момент времени /= 0_, не был заряжен. Поэтому

ис(0_) = 0 = ис(0+) = Е+А,
откуда А = -Е.

Подставив значение постоянной А в (1.20), найдем напряжение на емкостном элементе во время его зарядки (рис. 1.11, б):

(1.21)

где τ = RC имеет размерность времени (Ом • Ф = Ом • А • с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она определяет скорость переходного процесса.

Напряжение на емкостном элементе (1.21) определяет зависимости от времени тока зарядки и напряжения на резисторе (рис. 1.11,5):

тогда

В первый момент после замыкания ключа t=0+ ток заряда в цепи скачком возрастает

от нуля i (0_) = 0

до i (0+) = E/R.

При малом сопротивлении R в цепи может наблюдаться значительный скачок тока.

Процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени Зτ, (при этом uc =0,95 E) который может быть достаточно большим, что используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

Разрядка конденсатора.

В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия (1.15), за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения ис= Е, к резистивному элементу сопротивлением R (рис. 1.12, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента (1.13):

(1.22)

где знак минус указывает на то, что ток i — это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе.

Разделим переменные в (1.22)

и проинтегрируем (1.23)

(1.24)

где неизвестная постоянная интегрирования записана в виде (-In А).

После потенцирования (1.24) получим

(1.25)

Для определения постоянной А в (1.25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (1.16). Так как до коммутации, т.е. и в момент времени t =0 _, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то

ис (0_) = Е=ис (0+)=А.

Подставив значение постоянной А в (1.25), получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе при его разрядке (рис. 1.12, б):

(1.26)

где τ = RC — постоянная времени цепи.

Ток разрядки найдем по (1.22):

Ток разрядки скачком возрастает от нуля

i (0_) = 0 до i (0+) = E/R, а затем убывает экспоненциально (см. рис. 1.12, б).

Зарядка конденсатора при малых значениях тока и больших значениях ЭДС Ев цепи на рис. 1.12, а позволяет накопить в нем большую энергию, которая может использоваться при разрядке большим током в импульсных источниках.


ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.1. Конденсатор емкостью С = 1 Ф, имеющий заряд q = 1 Кл, в момент времени t= 0 начинает разряжаться через резистор сопротивлением R= 1 Ом (см. рис. 1.12). Определите ток в резисторе в момент времени i =0,5 с.

Ответ: 0,6065 А.

1.2. Сохранив условия задачи 1.1, определите энергию конденсатора
в момент времени t=0,5 с.

Ответ: 0,183 Дж.

1.3. Сохранив условия задачи 1.1, определите, какое количество энергии выделится в виде тепла в резисторе к моменту времени t = 0,5 с.

Ответ: 0,317 Дж.

1.4. Плоский конденсатор (см. рис. 1.7, а) состоит из двух листов фольги каждый площадью 20 см2, разделенных слоем парафина (см. табл. 1.1) толщиной 0,05 мм с относительной диэлектрической проницаемостью εr = 2,1. Определите емкость конденсатора.

Ответ: 0,745 нФ.

1.5.Дайте определения электрического потенциала и разности электрических потенциалов.

1.6.Дайте определения линейных и нелинейных емкостных элементов.

1.7.Определите общую емкость двух конденсаторов, включенных параллельно, емкостью 1 мкФ каждый (см. рис. 1.9).

Ответ: 2 мкФ.

1.8. Определите общую емкость двух конденсаторов, включенных последовательно, емкостью 2 мкФ каждый (см. рис. 1.10).

Ответ: 1 мкФ.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: