2015-05-26
17071
Пример 3.9. На рисунке 3.46, приведена электрическая цепь с одним источником питания, параметры которой соответственно равны: U = 100 (B), r1 = 9 (Ом), xL1 = 12 (Ом), r2 = 6 (Ом), xC2 = 8 (Ом), r3 = 10 (Ом). Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи символическим методом.
 |
1. Подготавливаем схему для расчета комплексов токов.
1.1. Направляем напряжение источника питания по действительной оси, т.к. комплекс вектора напряжения на входе соответственно равен:
(В).
1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:
(Ом),
(Ом),
(Ом).
1.3. Схема для определения комплексов тока имеет вид, представленный на рисунке 3.47.
 |
2. Определяем комплексное входное сопротивление цепи.
2.1. Параллельно соединенную вторую и третью ветви, заменяем эквивалентной и определяем сопротивление 
:
(Ом).
2.2. Комплексное входное сопротивление цепи
(Ом).
3. Определяем комплексы токов.
3.1. Комплекс тока 
:
(А).
3.2. Определяем комплексы токов 
и 
.
3.2.1. Комплексное напряжение 
на зажимах второй и третьей ветви:
(В).
3.2.2. Комплекс тока :
(А).
3.2.3. Комплекс тока :
(А).
4. Проверяем рассчитанные комплексы токов, применяя первый закон Кирхгофа, согласно которому 
.
Полученный результат совпадает с рассчитанным значением комплекса тока . Следовательно 
.
Пример 3.10. На рисунке 3.48, представлена разветвленная электрическая цепь переменного тока, с параметрами 
(B), r1 = 6 (Ом), xL1 = 8 (Ом), r2 = 3 (Ом), xC2 = 4 (Ом), 
(A). Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи символическим методом.
 |
1. Подготавливаем схему для расчета комплексов токов.
1.1. Формируем комплекс ЭДС и токов источников питания:
(В),
(А).
1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:
,
.
1.3. Схема для определения комплексов тока имеет вид, представленный на рисунке 3.49.
 |
2. Определим комплексы токов в ветвях методом контурных токов. Приведенная на рисунке 3.49 схема, имеет два контура. Второй контур включает в себя источник тока 
, поэтому контурный ток второго контура определен и равен току источника тока 
. Для определения комплексных токов ветвях, достаточно определить ток первого контура 
.
2.1. Составляем уравнения для определения контурного тока.
.
2.2. Подставляем числовые значения и рассчитываем контурный ток .
(А).
2.3. Определяем комплексные токи в ветвях.
2.3.1. Ток в первой ветви 
(А).
2.3.2. Ток во второй ветви
(А).
Пример 3.11. Рассмотрим расчет разветвленной цепи синусоидального тока с использованием различных методов (метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и др.).
На рисунке 3.50 приведена электрическая схема, с параметрами: 
(B), r1 = 12 (Ом), xL1 = 20 (Ом), xC1 = 11 (Ом), 
(B), r2 = 8 (Ом), xC2 = 6 (Ом), r3 = 4 (Ом), 
(B), r4 = 6 (Ом), xL4 = 8 (Ом), xC5 = 5 (Ом), xL6 = 6 (Ом). Требуется определить комплексные токи во всех ветвях электрической цепи различными методами.
 |
1. Подготовим схему для расчета комплексов тока:
1.1. Формируем комплексы ЭДС источников питания:
(В), 
(В), 
(В).
1.2. Формируем комплексные сопротивления ветвей:
(Ом);
(Ом);
(Ом);
(Ом);
(Ом);
(Ом).
1.3. Вычертим схему для определения комплексов тока (рис. 3.51):
 |
2. Осуществляем предварительный анализ схемы.
2.1. Количество ветвей – в = 6, количество узлов – y = 4. Выбираем положительное направление токов в ветвях (рис. 3.51).
2.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи. Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 3.52.
Ветвями дерева приняты ветви 6,5,3. Ветви связи (1,2,4) обозначены на схеме пунктирными линиями.
 |
2.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1 -ю ветвь связи, дополненную 5 и 6 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 2, дополненной 3 и 5 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 4, дополненной 3 и 6 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением тока в ветви связи.
3. Решаем задачу методом непосредственного применения законов Кирхгофа (рис. 3.52).
 |
3.1. Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа.
3.2. По 1-му закону Кирхгофа:
(1 узел);
(2 узел);
(3 узел).
3.3. По 2-му закону Кирхгофа:
(I контур);
(II контур);
(III контур).
3.4. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:
3.5. Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:
(А);
(А);
(А);
(А);
(А);
(А).
4. Решаем задачу методом контурных токов (рис. 3.53).
 |
4.1. Составляем уравнения для определения контурных токов:
;
;
.
4.2. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений:
4.2.1. Контурные сопротивления в символической форме
(Ом);
(Ом);
(Ом).
Сумма сопротивлений, принадлежащих нескольким контурам
(Ом);
(Ом);
(Ом).
Контурные ЭДС 
(В);
(В);
(В).
4.2.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид
4.2.3. Решая данную систему уравнений, определяем контурные токи:
(А);
(А);
(А).
4.2.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 3.53.
(А);
(А);
(А);
(А);
(А);
(А).
5. Решаем задачу методом узловых потенциалов (рис. 3.54).
Потенциал четвертого узла принимаем равным нулю: 
. Следовательно, необходимо определить потенциалы 
, 
, 
.
5.1. Составляем уравнения для определения потенциалов , , :
5.2. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений.
5.2.1. Полные проводимости ветвей в комплексной форме
(См);
(См);
(См);
(См);
(См);
(См).
5.2.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к соответствующим узлам:
(См);
(См);
(См).
Сумма проводимостей, соединяющих различные узлы
(См);
(См);
(См).
Узловые токи 
(А),
(А),
(А).
5.3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид
5.4. Решая данную систему уравнений произвольным методом, определяем комплексные потенциалы:
(В),
(В),
(В).
5.5. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рис. 3.54.
(А),
(А),
(А),
(А),
(А),
(А).
6. Находим ток методом эквивалентного генератора.
6.1. Определяем напряжение холостого хода 
.
6.1.1. Удаляем из исходной схемы сопротивление 
и вычерчиваем схему активного двухполюсника (рис. 3.55).
 |
6.1.2. Определяем токи в схеме активного двухполюсника (рис. 3.56) методом двух узлов.
 |
Потенциал третьего узла принимаем равным нулю: 
. Следовательно, необходимо определить потенциал .
6.1.2.1. Составляем уравнение для определения потенциала :
6.1.2.2. Сумма проводимостей ветвей, подключенных к первому узлу:
(См);
Узловой ток
(А).
6.1.2.3. После подстановки цифровых значений, определяем потенциал :
(В).
6.1.2.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 3.56.
(А),
(А),
(А).
6.1.3. Определяем 
по второму закону Кирхгофа из контура 1241
.
Подставляем известные значения 
(B).
6.2. Определяем входное сопротивление 
пассивного двухполюсника.
6.2.1. Удаляем источники питания и вычерчиваем схему пассивного двухполюсника (рис. 3.57).
 |
6.2.2. Треугольник сопротивлений 
, 
, 
преобразовываем в звезду сопротивлений (рис. 3.58,а):
(Ом),
(Ом),
(Ом).
 |
6.2.3. Последовательно соединенные элементы 
и 
, 
и 
заменяем эквивалентными 
и 
соответственно (рис. 3.58,б):
(Ом),
(Ом).
6.2.4. Параллельно соединенные элементы и заменяем эквивалентным 
(рис. 3.58,б):
(Ом).
6.2.5. Определяем входное сопротивление (рис. 3.58,в):
(Ом).
6.3. Определяем ток (А).
(А).
