Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т.е. . Следовательно, этот метод более экономичен при вычислениях, чем метод уравнений Кирхгофа.
Разработаем алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере схемы с тремя независимыми контурами (рис. 2.3). Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов и (ветвь bd, содержащая сопротивление ) протекает ток , по смежной ветви для контурных токов и (ветвь dс, содержащая сопротивление ) протекает ток , по смежной ветви для контурных токов и (ветвь аd, содержащая сопротивление ) протекает ток .
|
|
Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура принимают следующий вид:
(2.4)
Сгруппируем слагаемые при одноименных токах:
(2.5)
Введем обозначения:
собственные сопротивления контуров:
;
общие сопротивления контуров:
;
контурные ЭДС:
.
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
(2.6)
в матричной форме:
(2.7)
Собственное сопротивление контура (Rii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i -м контуре.
Общее сопротивление контура (Rij = Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i -му и j -му контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно.
Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.
Решение полученной системы удобно выполнить методом Крамера:
, (2.8)
где D, D1, D2, D3, – соответственно определители матриц:
,
(2.9)
По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей.
|
|
Таким образом, алгоритм расчета цепи постоянного тока методом контурных токов следующий:
1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.
2. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
3. Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2.6).
4. Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
5. Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.
6. В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
7. Проверить баланс мощности.
Если в цепи содержится q источников тока, количество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и становится равным р – q, поскольку токи в таких ветвях известны (для контуров с Iii = J уравнение можно не записывать). В этом случае следует выбирать такую совокупность независимых контурных токов, чтобы часть из них стала известными. Для этого необходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. Напряжения UJ источников войдут в качестве неизвестных в правые части уравнений, т.е. в состав контурных ЭДС.
Пример. Для схемы, представленной на рис. 2.4
Тогда система уравнений по методу контурных токов примет следующий вид:
Причем . Решив первое уравнение, можно получить . Далее
UJ можно определить из второго уравнения системы или составить уравнение по II закону Кирхгофа для любого контура, в который входит источник тока.
Баланс мощности: