Приведение моментов и сил сопротивления, инерционных масс и моментов инерции

Обычно двигатель приводит в действие производственный механизм через систему передач, отдельные элементы которой движутся с различными скоростями. Примерная кинематическая схема электропривода с вращательным движением исполнительного механизма представлена на рис. 2.1.

Часто в рабочих механизмах один из элементов совершает вращательное движение, другие поступательное, например в таких машинах, как подъемник (рис. 2.2), кран, строгальный станок и т. п.

Механическая часть электропривода может представлять собой сложную кинематическую цепь с большим числом движущихся элементов. Каждый из элементов реальной кинематической цепи обладает упругостью, т. е. деформируется под нагрузкой, а в соединениях элементов имеются воздушные зазоры. Если учитывать эти факторы, то расчетная схема механической части привода будет представлена многомассовой механической системой с упругими связями и зазорами, расчет динамики которой составляет большие трудности и возможен только посредством ЭВМ. Однако основные закономерности движения таких систем определяются наибольшими массами и зазорами и наименьшими жесткостями связей системы, что позволяет свести расчетную схему механической части привода либо к трехмассовой, либо к двухмассовой механической системе с эквивалентными упругими связями и с суммарным зазором (или без него), приведенным к угловой скорости вала двигателя. Но и эти расчетные схемы используются в тех ответственных случаях, где пренебрежение

Механизм

упругостью и зазором приведет к большим ошибкам расчета (точные следящие системы радиотелескопов и металлорежущих станков; механизмы с гибкими связями, длинными валами, канатами; резкие изменения состояния системы и т. п.). Методика расчета электроприводов, механическая часть которых содержит упругие связи и зазоры, рассмотрена в [42].

В большинстве практических случаев в инженерных расчетах при решении задач, не требующих большой точности, и для механических звеньев, обладающих небольшими зазорами и незначительной упругостью (большой жесткостью), можно пренебречь зазорами и упругостью, приняв механические связи абсолютно жесткими. При этом допущении движение одного элемента дает полную информацию о движении всех остальных элементов, поэтому движение электропривода можно рассматривать на каком-либо одном механическом элементе. Обычно в качестве такого элемента принимают вал двигателя.

Расчетную схему механической части привода, следовательно, можно свести к одному обобщенному жесткому механическому звену, имеющему эквивалентную массу с моментом инерции I, на которую воздействует электромагнитный момент двигателя М и суммарный приведенный к валу двигателя момент сопротивления (статический момент) Мс, включающий все механические потери в системе, в том числе механические потери в двигателе.

Момент сопротивления механизма Мсм,(рис. 2.1), возникающий на валу рабочей машины, состоит из двух слагаемых, соответствующих полезной работе и работе трения.

Рис. 2.3. Циклический график работы станка.

Полезная работа, совершаемая производственным механизмом, связана с выполнением соответствующей технологической операции. График полезной работы может быть построен на основании аналитических расчетов или по экспериментальным данным. Такой график, например, для станка, работающего по циклическому закону, представлен на рис. 2.3. Заштрихованная область графика соответствует полезной работе; не заштрихованная часть графика соответствует работе трения. При совершении полезной работы происходит деформация материала или изменяется запас потенциальной энергии тел, например в подъемных устройствах. В некоторых машинах совершение полезной работы связано с незначительным превышением момента по сравнению с моментом трения (например, печатная машина, размольная шаровая мельница, кран, передвигающийся по горизонтальным направляющим, и т. п.).

Работа трения, совершаемая в производственном механизме, учитывается обычно КПД механических связей привода. Работу трения можно иногда учесть, пользуясь данными, полученными на основании опыта. Например, при подъеме груза G1 на высоту h можно считать, что силы трения как бы увеличивают вес груза на некоторое дополнительное значение G0. Тогда работа подъема, Дж, записывается следующим образом:

(2.1)

В насосах потери могут учитываться некоторой фиктивной дополнительной высотой подачи h0. Момент трения всегда направлен против движущего момента привода.

Моменты сопротивления можно разделить на две категории, а именно: 1) реактивные моменты и 2) активные или потенциальные моменты.

В первую категорию включаются моменты сопротивления от сжатия, резания, моменты трения и т. п., препятствующие движению привода и изменяющие свой знак при изменении направления вращения.

Во вторую категорию входят моменты от силы тяжести, а также от растяжения, сжатия и скручивания упругих тел. Эти моменты могут быть названы потенциальными, поскольку они связаны с изменением потенциальной энергии отдельных элементов привода. Потенциальные моменты могут тормозить движение привода или, наоборот, способствовать его движению. Следует отметить, что в отличие от реактивного статического момента активный момент сохраняет свой знак при изменении направления вращения привода. Например, момент, создаваемый грузом подъемного механизма, сохраняет свой знак как при подъеме его, так и при опускании. Следовательно, в данном случае активный статический момент при подъеме препятствует движению, а при опускании способствует ему.

Приведение моментов сопротивления от одной оси вращения к другой может быть произведено на основании энергетического баланса системы. При этом потери мощности в промежуточных передачах учитываются введением в расчеты соответствующего КПД - .Обозначим через угловую скорость вала двигателя, а - угловую скорость вала производственного механизма. На основании равенства мощностей получим:

,

Откуда

, (2.2)

где Mс ,м — момент сопротивления производственного механизма, Нм;

Мс — тот же момент сопротивления, приведенный к скорости вала двигателя, Нм; i= / — передаточное число.

При наличии нескольких передач между двигателем и механизмом (см. рис. 2.1) с передаточными числами и соответствующими КПД момент сопротивления, приведенный к скорости вала двигателя, определяется формулой

(2.3)

Приведение сил сопротивленияпроизводится аналогично приведению моментов. Если скорость поступательного движения V, м/с, а угловая скорость вала двигателя , рад/с, то (2.4)

где — сила сопротивления производственного механизма, Н.

Отсюда приведенный к скорости вала двигателя момент сопротивления равен:

(2.5)

В случае приведения вращательного движения к поступательному приведенное усилие

(2.6)

Приведение моментов инерции к одной оси вращения основано на том, что суммарный запас кинетической энергии движущихся частей привода, отнесенный к одной оси, остается неизменным. При наличии вращающихся частей, обладающих моментами инерции и угловыми скоростями (см. рис. 2.1), можно заменить их динамическое действие действием одного момента инерции, приведенного например, к скорости вала двигателя. В таком случае можно написать:

(2.7)

откуда результирующий или суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя:

(2.8)

где — момент инерции ротора двигателя и других элементов (муфты, шестерни и т. п.), установленных на валу двигателя.

Иногда в каталогах для двигателей указывается значение махового момента GD2, кгс*м2. В этом случае моменты инерции ротора двигателя, кг-м2, в системе СИ вычисляются по формуле

(2.9)

где D — диаметр инерции, м; G — сила тяжести (вес), кгс. Это соотношение следует из формулы, определяющей момент инерции тела массой, m кг,

(2.10)

где — радиус инерции, м.

Если сила тяжести выражена в ньютонах, то масса тела определяется из равенства

, (2.11)

где g = 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно продольной оси вычисляется по формуле

( 2.12 )

где R — радиус цилиндра, м.

Приведение масс, движущихся поступательно, осуществляется также на основании равенства запаса кинетической энергии

Отсюда момент инерции, приведенный к валу двигателя,

. (2.13)

Если механизм имеет вращающиеся и поступательно движущиеся элементы, то суммарный приведенный к валу двигателя момент инерции определяется на основании (2.8) и (2.13)

... (2.14)

Для приведения момента инерции к поступательному движению нужно момент инерции заменить приведенной массой, т. е.

.

7. Классификация по виду движения электродвигателя. Наибольшее применение получили электроприводы вращательного движения. Сейчас значительное внимание уделяется линейным двигателям. В тех механизмах, где рабочий орган совершает поступательное или возвратно-поступательное движение, применение линейных двигателей конструктивно гораздо удобнее, чем использование специальных кинематических пар: винт-гайка, кривошипно-шатунный механизм. Из-за низких энергетических и массогабаритных показателей линейные электродвигатели не находили применения. Создание новых конструкций линейных двигателей с питанием от полупроводниковых преобразователей частоты достигли новых возможностей применения для металлорежущих станков.

Многокоординатные электроприводы на основе специальных шаговых электродвигателей являются отечественной разработкой и находят применение в высокоточных робототехнических установках, сборочных автоматах. Многокоординатные электроприводы позволяют осуществлять пространственные движения рабочего органа по нескольким координатам.

Активные моменты сопротивления – моменты, вызванные весом поднимаемого и спускаемого груза. В уравнении механического движения электропривода перед этим моментом всегда ставится знак (–) независимо от подъема или спуска груза.

Реактивный момент сопротивления – момент, всегда препятствующий движению электропривода и изменяющий свой знак при изменении направления движения (например при резании металла). При положительной скорости электродвигателя перед этим моментом в уравнении механического движения электропривода необходимо ставить знак (–), а при обратном движении знак (+).

За положительное направление вала двигателя принимается вращение по часовой стрелке. Если временной момент на валу двигателя направлен в эту сторону, то ему приписывают знак (+). При обратном направлении движения – знак (–). В тормозных режимах двигателя знаки перед вращающимся моментом двигателя и угловой скоростью противоположны.

Активная составляющая потребляемой любой нагрузкой мощности электрического тока совершает полезную работу и трансформируется в нужные нам виды энергии (тепловую, световую, звуковую и т.п.). Отдельные электроприборы работают в основном на этой составляющей мощности. Это - лампы накаливания, электроплиты, обогреватели, электропечи, утюги и т.п.
При указанном в паспорте прибора значении активной потребляемой мощности в 1 кВт он будет потреблять от сети полную мощность в 1кВА.

Реактивная составляющая электрического тока возникает только в цепях, содержащих реактивные элементы (индуктивности и ёмкости) и расходуется обычно на бесполезный нагрев проводников, из которых составлена эта цепь. Примером таких реактивных нагрузок являются электродвигатели различного типа, переносные электроинструменты (электродрели, «болгарки», штроборезы и т.п.), а также различная бытовая электронная техника. Полная мощность этих приборов, измеряемая в вольт-амперах, и активная мощность (в ваттах) соотносятся между собой через коэффициент мощности cosφ, который может принимать значение от 0,5 до 0,9. На этих приборах указывается обычно активная мощность в ваттах и значение коэффициента cosφ. Для определения полной потребляемой мощности в ВА, необходимо величину активной мощности (Вт) разделить на коэффициент cosφ.

Пример: если на электродрели указана величина мощности в 600 Вт и cosφ = 0,6, то отсюда следует, что потребляемая инструментом полная мощность составляет 600/0,6=1000 ВА. При отсутствии данных по cosφ можно брать его приблизительное значение, которое для домашнего электроинструмента составляет примерно 0,7.

При рассмотрении вопроса об активной и реактивной составляющих электроэнергии (точнее - её мощности), обычно имеются в виду те явления, которые происходят в цепях переменного тока. Оказалось, что различные нагрузки в цепях переменного тока ведут себя совершенно по-разному. Одни нагрузки используют передаваемую им энергию по прямому назначению (т.е. - для совершения полезной работы), а другой тип нагрузок сначала эту энергию запасает, а потом снова отдаёт её источнику электропитания.

По виду своего поведения в цепях переменного тока, различные потребительские нагрузки делятся на следующие два типа:

1. Активный тип нагрузки поглощает всю получаемую от источника энергию и превращает её в полезную работу (свет от лампы, например), причём форма тока в нагрузке в точности повторяет форму напряжения на ней (сдвиг фаз отсутствует).

2. Реактивный тип нагрузки характеризуется тем, что сначала (в течение некоторого промежутка времени), в нём происходит накопление энергии, поставляемой источником питания. Затем запасённая энергия (в течение определённого промежутка времени) отдаётся обратно в этот источник. К подобным нагрузкам относятся такие элементы электрических цепей, как конденсаторы и катушки индуктивности, а также устройства, содержащие их. При этом в такой нагрузке между напряжением и током присутствует сдвиг фаз, равный 90 градусам. Поскольку основной целью существующих систем электроснабжения является полезная доставка электроэнергии от производителя непосредственно к потребителю (а не перекачивание её туда и обратно) - реактивная составляющая мощности обычно считается вредной характеристикой цепи.

Потери на реактивную составляющую в сети напрямую связаны с величиной рассмотренного выше коэффициента мощности, т.е. чем выше cosφ потребителя, тем меньше будут потери мощности в линии и дешевле обойдётся передача электроэнергии потребителю.

Таким образом, именно коэффициент мощности указывает нам на то, насколько эффективно используется рабочая мощность источника электроэнергии. В целях повышения величины коэффициента мощности (cosφ) во всех видах электрических установок применяются специальные приёмы компенсации реактивной мощности.

Обычно для увеличения коэффициента мощности (за счёт уменьшения сдвига фаз между током и напряжением - угла φ) в действующую сеть включают специальные компенсирующие устройства, представляющие собой вспомогательные генераторы опережающего (емкостного) тока.

Кроме того, очень часто для компенсации потерь, возникающих из-за индуктивной составляющей цепи, в ней используются батареи конденсаторов, подключаемые параллельно рабочей нагрузке и используемые в качестве синхронных компенсаторов.

8. Механической характеристикой рабочей машины называется зависимость приведенной к валу двигателя угловой скорости от момента сопротивления w=f(М_с).

При поступательном движении соответственно – линейная скорость в функции усилия V=f(F_c).

М_с - статический момент, складывается из момента на трение (пропорциональна весу вращающихся частей и диаметру опоры), момента от трения на рассекание воздуха (возрастающая функция от частоты вращения), собственно полезный М_с (от типа рода нагрузки).

По характеру действия моменты нагрузки М_с делятся на активные и реактивные:

· Активные – имеют постоянное, не зависящие от скорости, направление своего действия и создаются так называемыми потенциальными силами – силами притяжения Земли, силами упругой деформации и др.

· Реактивные – создаются в основном силами трения, они всегда противодействуют движению и поэтому изменяют свой знак с изменением направления скорости движения.

Различные производственные механизмы обладают различными механическими характеристиками которые можно описать выражением

М_с=М₀+(М_с.н –М₀)()^x, (1)

где М_с - момент сопротивления производственного механизма (рабочей машины) при скорости w (текущей скорости);

М_с.н - номинальный момент сопротивления при w_н;

М₀ - начальный момент сопротивления при w=0;

w - текущая угловая скорость;

х - показатель степени, характеризующий изменение момента сопротивления при изменении скорости.

Приведенная, формула позволяет классифицировать механические характеристики производственных механизмов, ориентировочно, на следующие основные категории (рис.1)

1 - не зависящая от скорости характеристика, х=0

(подъемные краны, лебедки, механизмы подачи металлорежущих станков, поршневые насосы при неизменной высоте подачи, конвейеры, транспортеры с постоянной нагрузкой). Сюда же могут быть отнесены все механизмы, у которых основным моментом сопротивления является момент трения, т.к. обычно в пределах рабочих скоростей момент трения изменяется мало;

2 - линейно возрастающая, х=1

(генераторы постоянного тока с независимым возбуждением работающий на постоянную внешнюю нагрузку, зерноочистительные машины);

3 - нелинейно-возрастающая, х=2 – называют вентиляторной характеристикой (вентиляторы, центрифуги, сепараторы, центробежные насосы);

4 - нелинейно-спадающая, х= -1 (токарные, расточные, фрезерные и другие металлорежущие станки, зерновые нории).

Эти характеристики не исчерпывают всех практических возможных случаев, но дают представление о типичных производственных механизмах.

Целесообразно установить зависимость мощности от скорости для каждой группы механизмов.

Если пренебречь М₀ в выражении (1), уравнение примет вид

М_C= М_C.Н ^. ( )^Х ; (2)

умножим правую и левую части на w, получим

Р_С =М_С ^. w = М_С.Н ^. ( )^{X .} w = М_С.Н ^. , (3)

где Р_С – мощность потребляемая механизмом при скорости w.

При х=0 Р_С1 =М_С.Н ^. w= К₁ w; х=1 Р_С2 = w²= К₂ w²;

х=2 Р_С3 = w³= К₃ w³; х= -1 Р_С4 =М_С.Н ^. w_н= const.

Таким образом, для механизмов первой группы мощность пропорционально скорости, для механизмов второй – квадрату скорости, третьей – кубу скорости, четвертой – не зависит от скорости.

9. Уравнение движения электропривода должно учитывать все силы и моменты, действующие в переходных режимах.

При поступательном движении движущая сила F всегда уравновешивается силой сопротивления машины Fc и инерционной силой , возникающей при изменениях скорости. Если масса тела m выражена в килограммах, а скорость V - в метрах в секунду, то сила инерции, как и другие силы, действующие в рабочей машине, измеряются в ньютонах (кг*м*с-2).

В соответствии с изложенным уравнение равновесия сил при поступательном движении записывается так:

. (2.22)

Аналогично уравнение равновесия моментов, Нм, для вращательного движения (уравнение движения привода) имеет следующий вид:

. (2.23)

Уравнение (2.23) показывает, что развиваемый двигателем вращающий момент М уравновешивается моментом сопротивления Мc на его валу и инерционным или динамическим моментом . В (2.22) и (2.23) принято, что

масса тела т и соответственно момент инерции привода являются постоянными, что справедливо для значительного числа производственных механизмов. Из анализа (2.23) видно:

1) при > , т. е. имеет место ускорение привода;

2) при < , т. е. имеет место замедление привода (очевидно, что замедление привода может быть и при отрицательном значении момента двигателя);

3) при = ; в данном случае привод работает в установившемся режиме.

Вращающий момент, развиваемый двигателем при работе, принимается положительным, если он направлен в сторону движения привода. Если он направлен в сторону обратную движению, то он считается отрицательным.

Отметим, что знак минус перед , указывает на тормозящее действие момента сопротивления, что отвечает усилию резания, потерям трения, подъему груза, сжатию пружины и т. п. при положительном знаке скорости.

При спуске груза, раскручивании или разжатии пружины и т. п. перед Мс ставится знак плюс, поскольку В этих случаях момент сопротивления помогает вращению привода.

Инерционный (динамический) момент (правая часть уравнения моментов) проявляется только во время переходных режимов, когда изменяется скорость привода. При ускорении привода этот момент направлен против движения, а при торможении он поддерживает движение. Инерционный момент как по значению, так и по знаку определяется алгебраической суммой моментов двигателя и момента сопротивления.

При учете сказанного о знаках моментов формула (2.23) соответствует работе двигателя в двигательном режиме при реактивном моменте сопротивления (или при потенциальном тормозящем моменте сопротивления). В общем виде уравнение движения привода может быть записано следующим образом:

. (2.23а)

Выбор знаков перед значениями моментов в (2.23а) зависит от режима работы двигателя.

11. Регулированием скорости является принудительное изменение скорости двигателя в целях регулирования скорости движения исполнительных органов машин и механизмов. В общем случае регулирование скорости двигателей – а под этим понимается также и поддержание скорости на заданном уровне – может осуществляться двумя способами – параметрическим и в замкнутых системах.

При параметрическом способе регулирование достигается изменением каких-либо параметров электрических цепей двигателей или питающего напряжения за счет включения, например, различных дополнительных элементов: резисторов, конденсаторов, индуктивностей. Качество такого регулирования скорости обычно оказывается не очень высоким.

При необходимости получения процесса регулирования скорости с высокими качественными показателями переходят к замкнутым системам электропривода, в которых воздействие на двигатель обычно осуществляется изменением подводимого к двигателю напряжения, или частоты этого напряжения, или того и другого. Для этой цели служат различные силовые преобразователи постоянного и переменного тока.

Регулирование скорости в количественном отношении характеризуется шестью основными показателями.

1. Диапазон регулирования определяется отношением максимальной ωмах и минимальной скоростей ωмин: Д = ωмах / ωмин при заданных пределах изменения нагрузки на валу двигателя.

Различные рабочие машины требуют разных диапазонов регулирования. Так, прокатные станы характеризуются диапазоном Д = 20 - 50, станки от Д = 3 - 4 до Д = 50 - 1000 и более, бумагоделательные машины Д = 20 и т.д.

2. Направление регулирования скорости определяется расположением получаемых искусственных характеристик относительно естественной. Если они располагаются выше естественной, то говорят о регулировании скорости вверх от основной, если ниже – вниз от основной. Расположение искусственных характеристик как выше, так и ниже естественной обеспечивает так называемое двухзонное регулирование.

3. Плавность регулирования скорости определяется числом получаемых в данном диапазоне искусственных характеристик: чем их больше, тем регулирование скорости будет осуществляться плавнее. Плавность оценивается коэффициентом, который находится как отношение скоростей на двух ближайших характеристиках

kпл = ω_i - ω_i-1,

где ω_i иω_i-1 – скорости на i-й и (i-1) искусственных характеристиках.

Наибольшая плавность достигается в замкнутых системах с использованием преобразователей напряжения и частоты, небольшая плавность обычно соответствует параметрическим способам регулирования. При плавном регулировании скорости качественно протекает технологический процесс, улучшается качество выпускаемой продукции, повышается производительность работы электропривода и т.д.

4. Стабильность в поддержании заданной регулировочной скорости технологом зависит от жесткости механической характеристики электродвигателя. Более жесткую механическую характеристику возможно получить только в замкнутых электроприводах. В разомкнутом электроприводе и при слишком пониженной скорости и колебаниях момента сопротивления будут происходить большие колебания скорости, что недопустимо.

5. Допустимая нагрузка на двигатель при регулировании скорости зависит от протекающего тока в силовой части. Этот ток не должен превышать номинального значения. В противном случае двигатель будет перегреваться. Допустимый ток зависит от вида механической характеристики исполнительного органа и примененного способа регулирования скорости.

6. Экономичность регулирования определяется капитальными и эксплуатационными затратами на регулируемый электропривод. Капитальные затраты должны быть по возможности минимальными, или в противном случае такими, чтобы срок окупаемости электропривода не превысил нормативного.

При расчете показателя экономичности регулирования скорости учитываются количество регулируемых скоростей в диапазоне регулирования, активные мощности на валу двигателя при различных скоростях, потери мощности при различных скоростях, время работы электродвигателя на каждой регулируемой скорости, активные и реактивные мощности, потребляемые электродвигателем.