2015-05-27
407
ЭМК
О теоремах-свойствах и теоремах-признаках
Пусть исследуется некоторый объект А
Теорема-свойство объекта А Теорема-признак объекта А:
формулируется так
А Þ В В Þ А.
Чтобы определить, является ли данная теорема теоремой-свойством или теоремой-признаком, нужно: 1) определить объект исследования (чаще всего он указывается в названии теоремы); 2) определить место расположения этого объекта исследования (в условии теоремы или в ее заключении); 3) сделать вывод о виде теоремы.
!! Самостоятельно доказать утверждения:
1) Признак делимости суммы: если каждое слагаемое суммы т + п делится на k, то и вся сумма делится на k.
Дано:
Доказать:
2) Свойство делимости суммы: если сумма т + п и одно из слагаемых делится на k, то и второе слагаемое делится на k;
Дано:
Доказать:
3) Признак делимости произведения: если хотя бы один из множителей т ∙ п делится на k, то и все произведение делится на k;
Дано:
Доказать:
4) Свойство делимости произведения: если произведение т ∙ п делится на k и k является простым числом, то хотя бы один из множителей т или п делится на k.
|
|
|
Дано:
Доказать:
Замечание. Для каждого утверждения составьте краткую запись (дано-доказать). Для доказательства используйте определение делимости.
Задание
Поясните, почему теоремы 1 и 3 названы признаками, а теоремы 2 и 4 свойствами.
Теорема: Множество простых чисел бесконечно.
Задание
Определите метод доказательства
Доказательство (методом _________________).
Пусть множество простых чисел конечно, тогда их всех можно выписать: 2; 3; 5; …. р.
Сконструируем число т = 2 · 3 · 5 · …. · р + 1.
С одной стороны данное число является составным, так как его нет в списке простых чисел, поскольку оно больше любого из простых чисел.
С другой стороны это число является простым, так как делится только на себя и на 1, поскольку первое слагаемое числа т делится на все простые числа от 2 до р, а второе слагаемое 1 на них не делится, значит, вся сумма не делится ни на одно из простых чисел.
Получили противоречие с тем, что натуральное число не может быть одновременно и ___________, и _______________.
Значит, множество простых чисел является _______________.
