Функция распределения вероятностей

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.

F(x) = P (X < x).

Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функции распределения есть неубывающая функция.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b.

5. Справедливы следующие предельные отношения:

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х ₁, х ₂, …, х_n, функция распределения имеет вид:

где неравенство x_i<x под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений х_i, величина которых меньше х.

Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство x_i < x ≤ x_{i +1}. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х < x выполняется, если величина Х примет значения х_к, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х < x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х ₁, Х = х ₂, Х = х ₃, …, Х = х_i. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем:

Коротко говоря, для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины.

Пример. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения и построить ее график. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал (1,5; 2,8).

Х
Р	0,3	0,2	0,5

Решение.

Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным.

Если 1 < х ≤ 2, то имеем F(x) = p ₁ = 0,3.

Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ = 0,5.

Если х > 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ + p ₃ = 1.

Окончательно получаем:

График функции F(х) имеет вид.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (1,5, 2,8), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(1,5 < X < 2,8)= F(2,8) – F(1,5).

По графику найдем значения функции распределения и искомую вероятность:

F(1,5)=0,3; F(2,8)=0,5; Р(1,5 < X < 2,8)=0,5-0,3=0,2.