2015-05-30
327
- Треугольник скоростей в теории центробежного насоса и основные геометрические соотношения. Теоретическое давление центробежного насоса.
Основной задачей математического расчета насоса является определение его теоретического давления R t. Для определения R t рассмотрим баланс энергии между рабочим колесом и потоком. Течение жидкости между лопатками – это сложное трехмерное пространственное движение. Ввиду математической сложности точных гидродинамических уравнений полный анализ такого движения возможен только с помощью мощных компьютеров и специальных математических методов. Поэтому для упрощения задачи будем полагать, что жидкость движется по направлениям радиальной координаты и полярному углу (рис. 3.2). Это допустимо, если ширина лопастей существенно больше расстояния между ними.
Рис. 3.2.
Векторные величины впредь будем обозначать жирными буквами, скалярные - наклонными нежирными буквами.
Введем подвижную систему координат, связанную с рабочим колесом. Эта система координат вращается вместе с ним, и движется по окружности со скоростью u. Вектор скорости жидкости относительно вращающейся системы координат обозначим за w. При большом числе лопаток вектор w направлен практически по касательной к поверхности лопаток. Направление вектора u, очевидно, будет вдоль касательной к окружностям с центром оси вращения.
Скорость жидкости в неподвижной системе координат (в лабораторной системе) c получается как векторная сумма u и w:
c = u + w.
Будем параметры на входе в межлопастной канал снабжать индексом 1, а на выходе из канала - индексом 2. Тогда (рис. 3.2)
c 1 = u 1 + w 1, c 2 = u 2 + w 2.
Вектор w 2 направлен по касательной к поверхности лопатки у внешнего края рабочего колеса, и он составляет угол b2 с направление вектора u 2.
Выделим элементарную плоскую струйку жидкости с расходом dQ. Эта струйка составлена из линии тока с близкими по величине скоростями жидкости. Найдем момент сил, действующих на элементарную струйку.
Согласно определению, дифференциал момента силы может быть определен как
dM = r × dF = r × dJ ¢,
где J ¢ - скорость изменения импульса, его приращение в случае изменения массы dJ ¢ = c t× dm ¢ = r rc t× dQ, m ¢ = r× dQ - скорость изменения массы. Значит,
dM = r ×r c t× dQ.
Для рассматриваемой струйки нам необходимо учесть, что в выражении для момента сил, действующих на нее, должно быть учтено только изменение момента при движении жидкости от входа и до выхода из канала. Только такое изменение связано с работой колеса. Поэтому правильное выражение имеет вид
dM = r(r 2 c 2t - r 1 c 1t) dQ,
где c 1t, c 2t - тангенциальные составляющие векторов c 1 и c 2. Суммарный момент
.
При близко расположенных лопатках скорости c 1t, c 2t практически не зависят от Q (точнее, от полярного угла, отсчитываемого вокруг оси вращения колеса). Поэтому интеграл легко вычисляется и равен
M = r(r 2 c 2t - r 1 c 1t) Q.
Умножив обе части на частоту w, получим мощность, сообщаемую потоку жидкости рабочим колесом - т.н. гидравлическую мощность Wg = w M:
Wg = r(w r 2 c 2t - w r 1 c 1t) Q = r(u 2 c 2t - u 1 c 1t) Q. (3.1)
Выражение (3.1) называется основным уравнением лопастных машин. Оно остается справедливым также и для осевых нагнетателей.
Здесь учтено, что на входе в межлопастные каналы скорость u 1 = r 1w, на выходе u 2 = r 2w.
Как мы знаем, давление насоса связано с удельной энергией жидкости. Эта связь
. (3.2)
Индекс t означает, что R t - теоретическое давление.
При выводе формулы (3.2) не учитывались гидравлические потери в насосе за счет сил трения, линии тока в межлопастном канале полагались идентичными друг другу. Эти факторы дают заниженное значение реального давления насоса, по сравнению с вычисляемым значением по формуле (3.2).
Формулу (3.2) можно еще записать как
,
где a1, a2 - углы между векторами c и u на входе и выходе из рабочего колеса.
В практике изготовления насосов кривизна лопаток выбирается так, чтобы a1 = 90° (cosa1 = 0). Тогда
. (3.3)
Формула (3.3) является базовой для получения основного уравнения центробежного (лопастного) насоса.
