Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на некотором интервале (а;в). Пусть на (а;в) функции v(x)*u’(х) имеет первообразную, тогда на интервале (а;в) функция v’(x)*u(x) так же имеет первообразную, при этом справедливо равенство ∫u(x)*v’(x)dx=u(x)*v(x) - ∫u’(x)*v(x)dx (1).

Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют придать формуле (1) следующий вид ∫u*dv=u*v - ∫v*du (2).

Интегралы, вычисляемые таким методом:

1)интегралы, к которых подынтегральная функция содержит одну из следующих функций: arcsinX, lnX, arccosX, arctgX, arcctgX, ln²X, lnu(x), arcsin²X, arccos²X, arctg²X, arcctg²X. При условии. Что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

2)интегралы вида:

1.∫(ax+b)ⁿ*cosXdx; 2. ∫(ax+b)ⁿ*sinXdx; 3.∫(ax+b)ⁿ*e^axdx; 4.∫(ax+b)ⁿ*a^αxdx, при а,в=const.

Эти интегралы беруться путем последовательного n-кратного применения формулы (1) или (2), где всякий раз в качестве u(x) надо выбирать а+в в соответствующей степени. После каждого интегрирования эта степень будет уменьшаться на единицу.

3)∫e^αx*cosβxdx; ∫e^αx*sinβxdx; ∫a^αx*cosβxdx; ∫a^αx*sinβxdx; ∫sin(lnX)dx; ∫cos(lnX)dx, при α,β,а=const.

Такие интегралы берутся в двухкратном интегрировании по частям, при любом выборе u(x).

15. Пусть требуется вычислить

Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда

Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.

Например. .

Замечание. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала бывают полезны следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .