Случайная величина (СВ) (интуитивное определение) – числовая функция, значение которой заранее определить невозможно, т.е. функция зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями. - обозначение случайных величин. - значения СВ.
Формальное определение СВ: Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство . - называется случайной величиной, если
. является событием .
Говорят, что функция является - измеримой (измеримой относительно -алгебры ), если множество . Т.о. СВ есть - измеримая функция ставящая в соответствие каждому элементарному исходу вещественное число .
Из определения СВ и -алгебры следует, что событиями являются также подмножества, связанные со СВ : ; ;
; , и любые другие подмножества, получающиеся из данных путем выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, попадание СВ в Борелевское множество на числовой прямой является событием:
.
Для определения вероятностей любых событий, связанных со СВ и делать это аналогичным способом для всех величин в ТВ вводится понятие функции распределения (ФР).
|
|
ФР -я СВ называется функция , отображающая , при каждом , определяемая равенством: . Геометрически ФР в точке означает вероятность попадания СВ левее заданной точки .
Свойства ФР:
1. - т.к. ФР является вероятностью.
2. ФР – неубывающая функция: .
Доказательство: .
3. и .
Замечание: Если предел , то для произвольной последовательности справедливо .
Доказательство: Существование предела вытекает из ограниченности и монотонности. В соответствии с замечанием к доказательству, что для того чтобы доказать, что достаточно показать, что . Пусть , тогда обладает свойствами:
1. ; (*)
2. . (**)
Т.о. в соответствии с аксиомой непрерывности вероятности, с учетом того, что .
Для доказательства 2-го утверждения достаточно показать, что или . Рассмотрим , последовательность удовлетворяет свойствам (*) и (**), а следовательно является убывающей. Аналогично получим, что .
4. ФР является функцией непрерывной слева: .
Замечание: Геометрически свойство означает, что в точках разрыва ФР принимает нижнее (меньшее) значение ().
Доказательство: докажем, что или
. Пусть тогда для выполняются свойства (*) и (**) . Т.о. .
Свойства 1-3 полностью описывают класс ФР (т.е. если функция удовлетворяет свойствам 1-3, то это ФР некоторой СВ).
5. , где - величина скачка ФР в точке .
.
Следствие: Если ФР является непрерывной в т. то .
Доказательство: . Событие справа попарно несовместно .
, т.к. , подчиняется свойствам (*) и (**). Т.о. .
6. .
Доказательство: .
7. .
Доказательство: .
8. ;
|
|
9. ;
10. .