2015-05-30
1979
Случайная величина (СВ) (интуитивное определение) – числовая функция, значение которой заранее определить невозможно, т.е. функция зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями. 
- обозначение случайных величин. 
- значения СВ.
Формальное определение СВ: Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство 
. 
- называется случайной величиной, если
. 
является событием 
.
Говорят, что функция является 
- измеримой (измеримой относительно 
-алгебры ), если множество 
. Т.о. СВ есть - измеримая функция ставящая в соответствие каждому элементарному исходу 
вещественное число 
.
Из определения СВ и -алгебры следует, что событиями являются также подмножества, связанные со СВ 
: 
; 
;
; 
, и любые другие подмножества, получающиеся из данных путем выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, попадание СВ в Борелевское множество на числовой прямой является событием:
.
Для определения вероятностей любых событий, связанных со СВ и делать это аналогичным способом для всех величин в ТВ вводится понятие функции распределения (ФР).
ФР -я СВ называется функция 
, отображающая 
, при каждом 
, определяемая равенством: 
. Геометрически ФР в точке 
означает вероятность попадания СВ левее заданной точки .
Свойства ФР:
1. 
- т.к. ФР является вероятностью.
2. ФР – неубывающая функция: 
.
Доказательство: 
.
3. 
и 
.
Замечание: Если 
предел 
, то для произвольной последовательности 
справедливо 
.
Доказательство: Существование предела вытекает из ограниченности и монотонности. В соответствии с замечанием к доказательству, что для того чтобы доказать, что 
достаточно показать, что 
. Пусть 
, тогда 
обладает свойствами:
1. 
; (*)
2. 
. (**)
Т.о. в соответствии с аксиомой непрерывности вероятности, с учетом того, что 
.
Для доказательства 2-го утверждения достаточно показать, что 
или 
. Рассмотрим 
, последовательность удовлетворяет свойствам (*) и (**), а следовательно является убывающей. Аналогично получим, что .
4. ФР является функцией непрерывной слева: 
.
Замечание: Геометрически свойство означает, что в точках разрыва ФР принимает нижнее (меньшее) значение (
).
Доказательство: докажем, что 
или
. Пусть 
тогда для выполняются свойства (*) и (**) 
. Т.о. 
.
Свойства 1-3 полностью описывают класс ФР (т.е. если функция 
удовлетворяет свойствам 1-3, то это ФР некоторой СВ).
5. 
, где 
- величина скачка ФР в точке 
.
.
Следствие: Если ФР является непрерывной в т. то 
.
Доказательство: 
. Событие справа попарно несовместно 
.
, т.к. , 
подчиняется свойствам (*) и (**). Т.о. .
6. 
.
Доказательство: 
.
7. 
.
Доказательство: 
.
8. 
;
9. 
;
10. 
.
