Центр тяжести дуги окружности, треугольника кругового сегмента.с.135

1).Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу AB радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси . Найдём координату по формулам , , .Для этого выделим на дуге AB элемент длиною , положение которого определяется углом . Координата элемента будет . Подставляя эти значения и в первую из формул и имея в виду, что интеграл должен быть распространён на всю длину дуги, получим: , где L – длина дуги AB, равная . Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на её оси симметрии на расстоянии от центра О, равным , где угол измеряется в радианах. 2). Центр тяжести площади треугольника. Разобьём площадь треугольника ABD прямыми, параллельными стороне AD, на n узких полосок; центры тяжести этих полосок будут, очевидно, лежать в медиане BE треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом известно, . 3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R с центральным углом . Разобьём мысленно площадь сектора OAB радиусами, проведёнными из центра О, на n секторов. В пределе, при неограниченном увеличении чиcла n? эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса . Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром тяжести дуги DE, положение которого найдётся по формуле . Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равным .