Так как в данном примере aij представляет затраты т.е. потери, то применятся минимаксный критерий.
Для А1: max aij = 24
Для А2: max aij = 28
Для А3: max aij = 23
Для А4: max aij = 27
W = min max aij = 23 Þ наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием Вальда будет третья стратегия (А3).
Критерий минимаксного риска Сэвиджа
Для А1: max rij = 11
Для А2: max rij = 13
Для А3: max rij = 17
Для А4: max rij = 21
S = min max rij = 11 Þ наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А1).
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
Положим значение коэффициента пессимизма р = 0,5.
Так как в данном примере aij представляет затраты (потери), то применятся критерий:
HA = min í p min aij + (1-p) max aij ý
min aij | max aij | p min aij + (1-p) max aij | |
Для А1 | |||
Для А2 | 17,5 | ||
Для А3 | |||
Для А4 |
Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1
Рассчитаем оптимальную стратегию применительно к матрице рисков
|
|
HR = min íp max rij + (1-p) min rijý
min rij | max rij | p max rij + (1-p) min rij | |
Для А1 | 5,5 | ||
Для А2 | 6,5 | ||
Для А3 | 10,5 | ||
Для А4 | 10,5 |
Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1
Вывод: в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:
· по критерию Вальда – выбор стратегии А3;
· по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А1;
· по критерию
· Гурвица – выбор стратегии А1.
Индивидуальное задание
Решите задачу, согласно вашему индивидуальному варианту.
Вариант 1
Найти наилучшие стратегии по критериям: Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (элементы матрицы - выигрыши):
Вариант 2
Дана матрица игры с природой в условиях полной неопределенности (элементы матрицы - выигрыши):
Требуется: проанализировать оптимальные стратегии игрока, используя критерии пессимизма-оптимизма Гурвица применительно к платежной матрице А и матрице рисков R при коэффициенте пессимизма р = 0; 0,5; 1. При этом выделить критерии максимакса, Вальда и Сэвиджа.
Вариант 3
Дана следующая матрица выигрышей:
Определите оптимальную стратегию используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,4).
Вариант 4
Один из пяти станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать три значения: 150, 200, 350. Производственные затраты Сi для I станка задаются следующей формулой:
Ci = Pi + ci*Q
Данные Pi и ci приведены в табл4.2.
|
|
Таблица 4.2
Показатели | Модель станка | ||||
Pi | |||||
ci |
Решите задачу для каждого из следующих критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица (критерий пессимизма равен 0,6). Полученные решения сравните.
Вариант 5
При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Стратегии | Состояние природы | |||
S1 | S2 | S3 | S4 | |
A1 | ||||
A2 | ||||
A3 |
Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма равном 0,5).
Вариант 6
Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля Rj. Определена экономическая эффективность Vji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков Si рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Проекты | Состояние природы | ||
S1 | S2 | S3 | |
R1 | |||
R2 | |||
R3 | |||
R4 |
Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,1. Сравнить решения и сделать выводы.
Вариант 7
Определите тип электростанции, которую необходимо построить для удовлетворения энергетических потребностей комплекса крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры:
R1 – сооружается гидростанция;
R2 – сооружается теплостанция;
R3 – сооружается атомная станция.
Экономическая эффективность сооружения электростанции зависит от влияния случайных факторов, образующих множество состояний природы Si.
Результаты расчета экономической эффективности приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Тип станции | Состояние природы | ||||
S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | |
R1 | |||||
R2 | |||||
R3 |
Вариант 8
Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции технического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством обслуживаемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предлагаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных автомобилей в действительности). В зависимости от принятого решения – проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) Rj и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО – построена в табл. 4.6 ежегодных финансовых результатов (доход д.е.):
Таблица 4.6
Проекты СТО | Прогнозируемая величина удовлетворяемости спроса | |||||
-120 | ||||||
-160 | ||||||
-210 | -30 | |||||
-270 | -80 |
Определите наилучший проект СТО с использованием критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,5.
Вариант 9
Магазин может завести один из трех типов товара Аi; их реализация и прибыль магазина зависит от типа товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния Вi (табл. 4.7). Гарантированная прибыль представлена в матрице прибыли:
Таблица 4.7
Тип товара | Спрос | ||
В1 | В2 | В3 | |
А1 | |||
А2 | |||
А3 |
Определить какой товар закупать магазину.
Вариант 10
Дана следующая матрица выигрышей:
Определите оптимальную стратегию используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,6).
|
|
Вариант 11
Администрации театра нужно решить, сколько заказать программок для представлений. Стоимость заказа 200 ф. ст. плюс 30 пенсов за штуку. Программки продаются по 60 пенсов за штуку, и к тому же доход от рекламы составит дополнительные 300 ф. ст. Из прошлого опыта известна посещаемость театра (табл.4.8).
Таблица 4.8
Посещаемость | |||||
Ее вероятность | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Ожидается, что 40% зрителей купят программки.
1. Используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица, определите, сколько программок должна заказать администрация театра.
2. Допустим, что рекламодатели увеличат сумму с 300 до 400 ф. ст. число посетителей будет больше 5250, к тому же спрос на программки будет полностью удовлетворен. Как это повлияет на рекомендации в п.1?
Вариант 12
При выборе стратегии Aj по каждому возможному состоянию природы Si соответствует один результат Vij. Элементы Vij являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены в таблице:
Таблица 4.9
Стратегии | Состояние природы | |||
S1 | S2 | S3 | S4 | |
A1 | ||||
A2 | ||||
A3 |
Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициенте пессимизма равном 0,6).
Вариант 13
Пекарня печет хлеб на продажу магазинам. Себестоимость одной булки составляет 30 пенсов, ее продают за 40 пенсов. В табл. 4.10 приведены данные о спросе за последние 50 дней:
Таблица 4.10
Спрос в день, тыс. шт. | |||||
Число дней |
Если булка испечена, но не продана, то убытки составят 20 пенсов за штуку. Используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при коэффициентах: 0,4- вероятность максимальной покупки, 0,6 – вероятность минимальной покупки), определите, сколько булок нужно выпекать в день.
Вариант 14
Компания выбирает, какой вид продукции целесообразно производить. Имеются четыре вида продукции Аj. Определена прибыль от производства каждого вида продукции в зависимости от состояний экономической среды Вi. Значения прибыли для различных видов продукции и состояний природы приведены в табл. 4.11.
|
|
Таблица 4.11
Вид продукции | Состояние экономической среды | ||
В1 | В2 | В3 | |
А1 | |||
А2 | |||
А3 | |||
А4 |
Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,4. Сравнить решения и сделать выводы.
Вариант 15
Компания "Kilroy" выпускает очень специфичный безалкогольный напиток, который упаковывается в 40-пинтовые бочки. Напиток готовится в течение недели, и каждый понедельник очередная партия готова к употреблению. Однако в одно из воскресений всю готовую к продаже партию пришлось выбросить. Секретный компонент, используемый для приготовления напитка, покупается в небольшой лаборатории, которая может производить каждую неделю в течение полугода (так налажено производство) только определенное количество этого компонента. Причем он должен быть использован в кратчайший срок.
Переменные затраты на производство одной пинты напитка составляют 70 пенсов, продается оназа 1,50 ф. ст. Однако компания предвидит, что срыв поставок приведет к потере части покупателей в долгосрочной перспективе, а следовательно, придется снизить цену на 30 пенсов. За последние 50 недель каких-либо явных тенденций в спросе выявлено не было (табл. 4.12).
Таблица 4.12
Спрос на бочки в неделю | |||||
Число недель |
Определите, что нужно предпринять, используя критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица при коэффициенте пессимизма 0,5. Сравнить решения и сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит отличительная особенность принятия решения в игре с «природой»?
2. Специфика мажорирования стратегий в игре с природой?
3. Опишите два способа задания матрицы игры с природой.
4. Что такое величина риска в игре с природой?
5. Опишите критерий Вальда.
6. Опишите критерий Сэвиджа?
7. Опишите критерий Гурвица.
8. Что такое коэффициент пессимизма в критерии Гурвица?
9. В каких критериях используется матрица выигрышей?
10. В каких критериях используется матрица рисков?