Критерий Гурвица

Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» ЛПР. Введем некоторый коэффициент a, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-a). Коэффициент доверия a показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять a=0,5.

Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе по формулам , . Далее, вычисляются функции полезности по формуле:

.

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Предположим, что для нашего примера ЛПР достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в a=0,7. Тогда:

В соответствии с расчетами ЛПР следует выбрать альтернативу А ₃. Если же, например, ЛПР не очень уверен в положительном исходе и расценивает его вероятность порядка a=0,2, то функции полезности равны:

Видно, что в этом случае следует принять А ₂, для которого функция полезности максимальна.

Следует отметить, что при a=0, критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при a=1 – в критерий максимального оптимизма.

В случае, если показатель привлекательности по критерию минимизируются (чем меньше, тем лучше для ЛПР, например затраты, риск и др.), то критерии принятия оптимального решения несколько меняются. Рассмотрим эти отличия.

Критерий Лапласа определяет оптимальное решение по минимальной функции полезности. Применяя критерий Вальда необходимо вычислять максимальный показатель каждой альтернативы (строки) и принимать альтернативу, где этот показатель минимален. Критерий максимального оптимизма позволяет определить оптимальное решение, соответствующее минимальному элементу матрицы выигрышей (которую в случае минимизации часто называют матрицей потерь). Матрица рисков в критерии Сэвиджа получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы потерь минимального элемента каждого столбца . Для реализации критерия Гурвица вычисляются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы , и функции полезности рассчитываются по формуле: . Выбирается альтернатива с наименьшей функцией полезности. Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2.

Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды . Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при . Матрица затрат имеет вид:

Критерий Лапласа.

Следует выбрать альтернативу А₁.

Критерий Вальда: среди наихудших вариантов a₁=12, a₂=10, a₃=15, a₄=11, наилучший соответствует a₂=10, следовательно принимаем альтернативу А₂.

Критерий максимального оптимизма. Соответствует альтернативе, для которой минимальное.

Критерии Сэвиджа имеет матрицу рисков:

Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны: b₁=4; b₂=4; b₃=8; b₄=3. Принимаем альтернативу, соответствующую минимальному значению b₄=3, то есть А₄.

В соответствии с критерии Гурвица на уровне , функции полезности равны:

Принимаем альтернативу А ₂ с наименьшей функцией полезности .