§1 Неопределенный интеграл. Содержание

Содержание
Рекомендуемая литература
§1. Неопределенный интеграл………………………………………………..…...
§2. Методы интегрирования………………………………………………...…….. 2.1. Непосредственное интегрирование……………………………………... 2.2. Метод подстановки (замены переменных)…………………………….. 2.3. Интегрирование по частям……………………………………….………
§3. Интегрирование рациональных дробей……………………………..……..…
§4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций……………..…. 4.1. Интеграл вида …………………………………………. 4.2. Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов. 4.3. Вычисление интегралов типа ……………………………
§5 Интегрирование некоторых иррациональных функций ………………. 5.1. Интеграл вида где n- натуральное число…..……….. 5.2. Квадратичные иррациональности……………………………………… 5.3. Тригонометрическая подстановка………………………………………. 5.4. Интегралы вида …………………………………….. 5.5. Интегрирование дифференциальных биномов…………………………
§6. Определенный интеграл…………………………………………………. 6.1. Свойства определенного интеграла…………………………………….
§7. Вычисление определенного интеграла………………………………….. 7.1. Замена переменных………………………………………………………. 7.2. Интегрирование по частям……………………………………………….
§8. Несобственные интегралы………………………………………………..
§9. Геометрические приложения определенного интеграла………………. 9.1. Вычисление площадей плоских фигур…………………………………. 9.2. Нахождение площади криволинейного сектора……………………….. 9.3. Вычисление длины дуги кривой………………………………………… 9.4. Объем тел вращения…………………………………………………….
§10. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула парабол. (формула Симпсона или квадратурная формула)…………………
§10. Основные типы интегралов и методы их вычисления…………………
Аудиторная контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»…
Типовой расчет по теме «Определенный интеграл»………………………..
Тест по теме «Неопределенный и определенный интеграл»………………

Рекомендуемая литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I. 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. –608 с.

3. Ларин, А.А. Курс высшей математики. [Текст] / А.А. Ларин. – М.: Высшая школа, 2001. – 257 с.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. Пособие для втузов. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2000. – 336 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1985. – 560 с.

Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются свойства, способы вычисления интегралов и их приложения. Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Интеграл (от лат. integer — целый), одно из самых важных понятий математики, появившееся в связи с возникшей потребностью, с одной стороны, находить функции по их производным (к примеру, находить функцию, которая выражала бы путь, пройденный движущейся точкой, исходя из скорости этой точки), а с другой — находить площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п.

. §1 Неопределенный интеграл

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

Пример.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов. Приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

	=			=	tgx + C
	=			=	-ctgx + C
	=			=
	=	ex + C		=
	=	sinx + C		=
	=	-cosx + C		=	arcsin + C
	=	-ln½cosx½+C		=
	=	ln½sinx½+ C		=	ln