№
| Вид интеграла
| Способ вычисления
|
I.
| Табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов
= F(x) +С
|
«Почти» табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов
= F(x+а) +С
|
«Почти» табличный интеграл
| Вычисляется с использованием таблицы основных интегралов, коэффициент а ставится в знаменатель.
= F(аx) +С
|
Иногда, при вычислении необходимо преобразовать подынтегральную функцию, раскрыв скобки, разделив почленно, применив тригонометрические формулы.
|
II.
| Интеграл, содержащий функцию и ее производную
| Вычисляется методом замены переменной
сводится к типу I.
|
III.
| Произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию
| Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и .
Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу .
Второй интеграл сводится к I, II или XIV.
|
IV.
| Произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию
| Вычисляется методом интегрирования по частям: разбиваем интеграл на части и .
Для u вычисляем дифференциал du, для dv первообразную v, применяем формулу .
Второй интеграл сводится к I, II или XIV.
|
V.
| Интеграл от рациональной функции, аргументами которой являются
| Применяется универсальная тригонометрическая подстановка
Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.
|
VI.
| Интеграл от рациональной функции, являющейся четной относительно
Интеграл от рациональной функции, аргументами которой является
| Применяется подстановка:
Далее интеграл сводится в виду I, II, XIV, IX.
|
VII.
|
| Применяется формула
|
| Применяется формула
|
| Применяется формула
|
VIII
|
| если m – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I.
|
если n – целое, нечетное, положительное число, делаем подстановку тогда . Получаем интеграл вида I.
|
если m и n – целые, четные положительные, то применяем формулы
Получаем интеграл вида I.
|
если m+n – целое четное отрицательное число, делаем подстановку . Получаем интеграл вида I.
|
IX.
|
| Выделяем полный квадрат
,
делаем замену
Получаем интегралы вида I, II.
|
X.
|
| Делаем подстановку . Получаем интеграл вида IX.
|
XI
|
| Делаем замену
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
XII
|
| Делаем тригонометрическую подстановку
.
Получаем интеграл вида VIII.
|
| Делаем тригонометрическую подстановку
.
Получаем интеграл вида VIII.
|
| Делаем тригонометрическую подстановку
.
Получаем интеграл вида VIII.
|
XIII
| Интеграл от дифференциального бинома
| если р – целое число, делаем замену
= НОК (знаменателей m и n).
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
если – целое число, делаем замену
= знаменателю р,
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
если – целое число, делаем замену
= знаменателю р,
Получаем интегралы вида I, II, XIV.
|
XIV
| Интеграл от рациональной дроби
– многочлен степени m, – многочлен степени n.
| Для вычисления интеграла необходимо:
– если дробь неправильная , нужно выделить целую часть, разделив числитель дроби на знаменатель, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби;
– разложить знаменатель дроби на множители;
– разложить правильную дробь на сумму простейших дробей в соответствии с полученными в знаменателе множителями:
множителю соответствует k дробей
множителю соответствует s дробей – сумму дробей привести к общему знаменателю;
– приравнять числители дробей;
– приравнять коэффициенты перед одинаковыми степенями х;
– найти неизвестные коэффициенты А, В, С…;
– проинтегрировать получившуюся сумму (получатся интегралы вида I, II, IX).
|
| | | |