Вычисление длины дуги кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой y=f(x), где . Если функция y=f(x) и ее производная непрерывны на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

где х = j(t) и у = y(t).

Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos²j + r²sin²j = r², т.е. функция r = f(j) = r, тогда

3 способ. Если задать окружность параметрически , тогда

и