Нечеткая операция «не»

Операция нечеткого «не» или дополнение определяется как отображение:

(-): m_A(x)®m_A(-)(x),

для которого выполняются аксиомы:

Таким образом, множество отображений, которые удовлетворяют аксиомам (2.19)-(2.21), являются нечетким отрицанием.

Операция (-) реализуется в виде схемы с одним входом и одним выходом (рис.2.10) и представляет из себя функцию одного переменного (рис.2.11):

y= f(u),

где

Существует бесконечное число операций нечеткого «не». Некоторые из них, используемые в теории нечеткого управления, приводятся ниже.

Нечеткое «не» по Заде (1973), определяется как вычитание из единицы:

(2.22)

Проверим выполнение аксиом (2.19-2.21):

(u=0)^(-)=1-(u=0)=1-0=1®0^(-)=1;

(u^(-))^(-)=1-u^(-)=1-(1-u)=u®(u^(-))^(-)=u.

Из графика рис.2.11:

u₁<u₂®u₁^(-)>u₂^(-).

Все аксиомы выполнены, поэтому (2.22) является нечетким «не».

Функции принадлежностей

изображены на рис.2.12.

Нечеткое «не» по Сугено (1977) или l-дополнение определяется в следующем виде:

(2.23)

где l>-1- вещественный параметр.

	Рис.2.11. Операция нечеткого «НЕ» по Заде.

	Рис.2.12. Функции принадлежностей и нечеткого «НЕ» по Заде.

	Рис.2.13. Операция нечеткого «НЕ» по Сугено.

Выполнение аксиом (2.19) – (2.21) очевидно. При l=0 (2.23) совпадает с (2.22). Зависимости y= f (u, l) при различных l изображены на рис.2.13. Функции принадлежностей представлены на рис.2.14

Нечеткое «не» по Ягеру (1980), определяется как:

(2.24)

где р>0 – параметр. Справедливость аксиом (2.19)-(2.21) очевидна.

При р=1 (2.24) совпадает с (2.22).

Для Т- и S-норм возможны различные варианты отрицаний из-за бесконечного числа нечетких «не». Обычно выбирают такие отрицания, которые удовлетворяют следующим условиям:

(2.25)

(2.26)

По аналогии с четкой логикой (2.25), (2.26) называют нечеткими законами де Моргана.

В теории нечетких множеств доказывается, что из (2.25) следует (2.26) и, наоборот, из (2.26) следует (2.25). Поэтому достаточно указывать либо(2.25), либо (2.26). В этой связи операции (2.25) и (2.26) называют взаимно дуальными. Можно показать взаимную дуальность () следующих нечетких операций:

	Рис.2.14. Функции принадлежностей и нечеткого «НЕ» .

	Рис.3.3. Проектирование нечеткого отношения .

	Рис.3.4. Цилиндрическое расширение нечеткого множества : .