Лингвистические модификации нечетких множеств

Каждое нечеткое множество может быть ассоциировано с некоторой лингвистической переменной. Например, нечеткому множеству с функцией принадлежности m_А(х) может быть поставлена в соответствие лингвистическая переменная «большая величина». Для нее может быть определена лингвистическая модификация «очень», которая характеризует взаимосвязь лингвистической переменной «большая величина» с переменной «очень большая величина». Этой модификации соответствует модифицированное нечеткое множество с функцией принадлежности m(A). Другими примерами могут служить лингвистические модификации: «незначительно», «более или менее» и т.д. В теории нечетких множеств взаимосвязь нечеткого множества А с функцией принадлежности m_А(х) с его модификацией m(A) характеризуется связанностью.

При определении связанности нечеткого множества с его модификацией используются следующие арифметические операции:

· степенная связанность;

· связанность в форме сдвига;

· связанность в форме изменения масштаба.

Степенная связанность определяется в следующем виде:

где р-параметр модификации; m_А(х) – функция принадлежности нечеткого множества А, m_p(A)- функция принадлежности модифицированного нечеткого множества. Использование арифметической операции возведение в степень позволяет получить соответствующие модификации, например:

Здесь степенная арифметическая операция производится в соответствии с принципом обобщения. На рис.1.38 приводятся примеры для лингвистических модификаций «очень» и «более или менее», Преимуществом подхода степенной связанности является то, что для каждой связанности определяется стандартная операция путем выбора соответствующих значений параметра «р».Отметим следующие свойства m_p(A) для различных значений р:

0<р<1 – нечеткое множество А расширяется, т.е. m_p(A) É A;

р=1 – нечеткое множество А не изменяется, т.е. m_p(A)= A;

р>1 – нечеткое множество А уменьшается, т.е. m_p(A)Ì A.

Другим характерным свойством степенной связанности является тот факт, что «основание» и «центр» модифицированного нечеткого множества m_p(A) не изменяются, т.к. 1^р=1 и 0^р=0.

Связанность в форме сдвига определяется в виде:

где m_s(A)- функция принадлежности модифицированного нечеткого множества; s – параметр сдвига. В пределах одной и той же связанности параметр s может иметь различные значения. Например, для нечеткого множества с трапецеидальной функцией принадлежности при получении модификации «очень» параметр s>0 на левой стороне от центра и s <0 на правой стороне (рис.1.39). При таком способе модификации исходное нечеткое множество А сжимается, для примера «очень А»: m_s(A)Ì A. Расширение А, например, «более или менее А», получается как операция инверсии: m_s(A) É A.

Связанность в форме изменения масштаба определяется в виде:

где с- масштабный множитель лингвистической модификации m_с(A); r_A- точка сравнения для нечеткого множества А. Точка r_A является характеристической точкой А. В случае выпуклой функции принадлежности такой точкой может быть выбрана точка центра ядра.. В случае монотонной функции принадлежности может выбираться точка supA, если такая точка существует. Если supA не существует, тогда в качестве точки сравнения может выбираться произвольная точка. На рис.1.40 показаны нечеткое множество А и его модификации «очень А», «более или менее А», которые получены путем изменения масштаба относительно точки r_A. Модификации сохраняют форму оригинала. Можно утверждать, что масштабирование оригинала является специальным случаем модификации путем сдвига. Отметим, что в случае одиночной функции принадлежностей, методы модификации нечетких множеств не могут быть применены несмотря на то, что четкие множества приближаются нечеткими. В настоящее время существует много методов построения m_А(х), m_m(А)(х) [8]:

· парных сравнений;

· обработки статистических данных;

· параметрической идентификации с использованием дробно- линейного конформного отображения теории функции комплексного переменного;

· экспертных оценок и другие.