Нечеткие предложения и нечеткая база правил

Важным понятием в нечеткой логике является понятие нечеткого предложения. (fuzzy proposition), которое определяется как высказывание типа «р: х есть А». Здесь символ «х» обозначает некоторую физическую величину, например, температуру, давление, скорость и т.д., символ «А» лингвистическую переменную, которая ассоциируется с нечетким множеством, а символ «р», является аббревиатурой proposition- предложение. Примером такого предложения может служить высказывание “уровень воды есть высокий” Физической переменной х здесь является «уровень воды», который измеряется соответствующим датчиком, нечеткое множество А характеризуется лингвистикой «высокий» и задается с помощью соответствующей функции принадлежности m_А(х). Лингвистике «есть» соответствует операция упорядоченности в виде равенства, которая обозначается символом «=». В результате нечеткое предложение «р: уровень воды есть высокий» может быть записано в формализованном виде «р:х=А».

Нечеткие предложения комбинируются между собой связками «и», «или», которые реализуются посредством Т и S норм соответственно. Как было показано ранее, существует бесконечное их число и для выбора не существует общих правил. Выбор логических связок зависит от смысла и контекста нечетких предложений и взаимосвязи между ними. Операции Т и S норм по Заде (2.6), (2.15) в теории нечеткого управления имеют предпочтение, т.к. они не имеют избыточности.

Это соответствует тому, что комбинация двух равных нечетких предложений представляют одинаковую информацию:

Это свойство отсутствия избыточности не справедливо для других Т и S норм, Однако, когда нечеткие предложения не являются эквивалентными, но коррелированны или взаимосвязаны, тогда возможно использование Т и S норм по Лукашевичу (2.8),(2.17). Наиболее часто используемы логические связки даны в табл. 3.1.

Табл.3.1. Часто используемы логические связки «и», «или» в нечеткой логике.

Предложение р может, кроме того, быть представлено, как нечеткое отношение Р с функцией принадлежности:

Нечеткие предложения, соединенные нечетким «и», иногда называют условиями или предпосылками и для их обозначения используют индикатор «если»:

1. если р₁₁:х₁=А₁₁ и р₁₂:х₂=А₁₂ и ….

Или

2. если р₂₁:х₁=А₂₁ и р₂₂:х₂=А₂₂ и ….

Или

Совокупность условий определяет совокупность выводов или заключений. Для их обозначения используют индикатор «тогда».

Совокупность условий и выводов определяет продукционное нечеткое правило (fuzzy rule):

R₁: если x₁=A₁₁ и x₂=A₁₂ и …, тогда y₁₁=B₁₁ и y₂₁=B₁₂ и …

Или

Здесь символ R₁ является аббревиатурой “rule –правило”.

Например, одно из правил при управлении температурой воды в лингвистических терминах имеет вид:

«R₁: если температура воды есть холодная и температура воздуха есть холодная, тогда поверни вентиль горячей воды влево на большой угол и вентиль холодной воды вправо на большой угол».

Здесь имеем нечеткие условия:

x₁- температура воды, A₁- холодная;

x₂- температура воздуха, A₂- холодная;

и нечеткие выводы:

y₁- угол поворота вентиля влево, B₁- большой;

y₂- угол поворота вентиля вправо, B₂- большой.

Лингвистическому нечеткому правилу соответствует формализованное представление:

R₁: если x₁=A₁ и x₂=A₂ и …, тогда y₁=B₁ и y₂=B₂, (3.1)

где A₁,…., B₂ –нечеткие множества, которые задаются соответствующими функциями принадлежностей.

Совокупность нечетких продукционных правил образуют нечеткую базу правил {R_i}^k_i=1:

R_i: если …., тогда…

Для нее справедливы следующие свойства:

· непрерывность;

· непротиворечивость;

· полнота.

Для того, чтобы определить непрерывность {R_i}^k_i=1 используются следующие понятия:

· упорядоченная совокупность нечетких множеств;

· прилегающие нечеткие множества.

Совокупность нечетких множеств { A _i} называется упорядоченной, если для них задано отношение порядка, например,

“< “: A₁<…< A_i-1< A_i< A_i+1<…

Если { A _i} упорядочена, тогда множества A_i-1и A_i, A_i и A_i+1 называются прилегающими. Здесь предполагается, что эти нечеткие множества являются перекрывающимися.

База правил {R_i}^k_i=1 называется непрерывной, если для правил:

“R_К: если x₁=A_1,К и x₂=A_2,К, тогда y=B_К” и k^¢¹k имеем:

А_1,К= А_1,К¢Ù А_2,К и А_2,К¢ является прилегающим;

А_2,К= А_2,К¢Ù А_1,К и А_1,К¢ является прилегающим;

В_К и В_К¢ являются прилегающими.

Непротиворечивость базы правил обычно демонстрируется на контрпримерах.

Контрпример 1. Нечеткое управление роботом:

:

или

: если препятствие впереди, тогда двигайся влево

{R_i}^k_i=1= или

R : если препятствие впереди, тогда двигайся вправо

или

:

База правил {R_i}^k_i=1 противоречива.

Контрпример 2. Нечеткая система (рис.3.1)

R₁: если x₁=A или x₂=Е, тогда y=Н;

{R_i}³_i=1= R₂: если x₁=С или x₂=F, тогда y=I;

R₃: если x₁=B или x₂=D, тогда y=G.

y

В терминах управления, правила, которые содержат 2 условия и один вывод, представляют собой систему с двумя входами х₁ и х₂ и одним выходом y. В этом случае алгоритм функционирования нечеткой системы может быть задан в матричной форме:

X2 X1	A	B	C
D		G
E	H
F		I

Представленная база правил непротиворечива. Пусть теперь база правил имеет вид.

X2 X1	A	B	C
D	H	G	I
E	H	H	H, I
F	H, I	I	I

Рис.3.1 Противоречивость базы правил.

В этом случае база правил противоречива, так как она приводит к двусмысленности выводов в случае х₁=А, х₂=F и х₁=C, х₂=E. Из этого простого примера становится очевидным, что заранее высказанные два правила, будут давать двусмысленность выводов. Этот феномен не так легко может быть идентифицирован, в общем случае, при наличии более сложной базы правил.

Полнота {R_i}^k_i=1 используется как мера, указывающая на полноту знаний, которые содержатся в базе правил. Неполная база правил имеет так называемые «пустые места» для определенных ситуаций (на семантическом уровне), т.е. не определены связи между входами и выходами. Это не означает, что результат вывода из правила не существует из-за неполноты базы правил, а этот эффект обусловлен свойствами нечетких множеств, которые используются в условиях правил.

В качестве меры полноты (CM-Completeness Measure) используется критерий:

х- физическая переменная входных данных (условий); N_x – число условий в правиле; N_r – число правил в базе правил. Например, при N_x=1, N_r=1, что соответствует наличию одного условия (N_x=1) базе правил, содержащей одно правило (N_r=1), получим:

Если m_1,1=0, что соответствует пустому месту, получим СМ(х)=0.

Численные значения, которые принимает критерий СМ(х), позволяют классифицировать базы правил по полноте знаний:

СМ(х)=0 - «неполная» база правил;

1<СМ(х)<1 - база правил «незначительно полная»;

СМ(х)=1 - база правил «точно полная»;

СМ(х)>1 - база правил «сверх полная (избыточная)».

Таким образом, при разработке алгоритмов нечетких систем управления в виде базы правил обязательным этапом анализа алгоритма является проверка соответствующей базы правил на непрерывность, непротиворечивость и полноту и далее приступают к компьютерной реализации алгоритма управления.