Необходимые сведения о группах, кольцах, полях

Пусть дано некоторое множество А, содержащее хотя бы один элемент. Будем говорить, что в множестве А определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а и , взятых из этого множества в определенном порядке, ставится во взаимно однозначное соответствие некоторый элемент с, также принадлежащий этому множеству. Если эту операцию называют сложением, то элемент с называют суммой элементов а и и обозначают символом а + ; если операцию называют умножением, то элемент с называется произведением элементов а и и обозначают символом а . В остальных случаях алгебраическую операцию будем обозначать символом *.

Алгебраическая операция * называется коммутативной, если результат ее применения не зависит от порядка элементов, т.е. для любых элементов а и из рассматриваемого множества выполняется равенство .

Алгебраическую операцию * называют ассоциативной, если для любых трех элементов а, , с рассматриваемого множества выполняется равенство .

Если операция ассоциативна и коммутативна, то результат не зависит от порядка расположения элементов в этом выражении.

Для алгебраической операции * часто приходится рассматривать наличие обратной операции, что равносильно решению уравнений , относительно элементов и из множества А. Решение этих уравнений приводит к правой и левой обратным операциям. В случае их существования будем говорить, что операция * имеет обратную операцию. Наличие обратной операции равносильно существованию для любого элемента рассматриваемого множества правого и левого обратных элементов.

Если для элемента а правый и левый обратные элементы совпадают, то этот единственный элемент называют обратным элементом к элементу а. В случае, когда алгебраическая операция названа сложением, обратный элемент к элементу а называют противоположным элементом для элемента а и обозначают символом – а; в случае, когда алгебраическая операция названа умножением, обратный элемент к элементу а обозначается символом . Это позволяет операцию, обратную к умножению, записать в виде .

Пусть в множестве К введены две операции – операция сложения и операция умножения. Говорят, что эти операции связаны законом дистрибутивности, если для любых элементов а, , с из К выполняются соотношения , .

Группой называют множество с одной ассоциативной обратной операцией. Если алгебраическая операция в группе названа сложением, то группу называют аддитивной; если алгебраическая операция в группе названа умножением, то группу называют мультипликативной. Группу с коммутативной операцией называют абелевой; группу, состоящую из конечного числа элементов, называют конечной группой, а число элементов в группе – порядком группы.

Примерами групп являются:

1. Множество всех целых чисел с операцией сложения чисел.

2. Множество всех четных чисел с операцией сложения чисел.

3. Множество всех чисел, кратных данному числу п, с операцией сложения чисел.

4. Множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве с операцией сложения векторов.

Если дана какая-либо группа и подмножество Н, содержащееся в , образует группу относительно алгебраической операции, заданной в , то группу Н называют подгруппой группы . Например, аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, которая сама является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел.

Множество К называют кольцом, если в нем определены ассоциативные операции сложения и умножения, связанные законом дистрибутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией – вычитанием.

Кольцо называют коммутативным, если в нем операция умножения коммутативная, и некоммутативным – в противном случае. Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.

Коммутативное кольцо Р, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения, называют полем.

Примерами полей являются:

1. Множество всех чисел вида , где а и - рациональные числа, с операциями сложения и умножения.

2. Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, с операциями сложения и умножения, заданными равенствами 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1+1=0, и , , .

В любом поле множество всех элементов является абелевой группой с операцией сложения, а множество всех ненулевых элементов – абелевой группой с операцией умножения. Отсюда следует, что операции сложения и умножения имеют обратные операции – вычитание и деление. Для этих операций используют те же обозначения, что и для одноименных числовых операций. Кроме того, для четырех операций (сложение, умножение, вычитание, деление) сохраняются обычные правила преобразования выражений, а именно: , , .

Перечислим нужные нам в дальнейшем общие факты об элементах произвольного поля.

В поле Р определена операция, называемая сложением, которая каждой паре элементов а и поля Р ставит в соответствие элемент а + из Р, называемый суммой элементов а и . При этом:

1) сложение коммутативно, т.е. для любых элементов а и из Р;

2) сложение ассоциативно, т.е. для любых элементов а, , с из Р;

3) в поле Р существует единственный элемент 0, называемый нулевым, такой, что для любого элемента а из Р;

4) для любого элемента а из Р существует единственный элемент , называемый противоположным, такой, что (это свойство обеспечивает существование операции, обратной к сложению, - вычитания).

В поле Р определена операция, называемая умножением, которая каждой паре элементов а и из Р ставит в соответствие элемент а из Р, называемый произведением элементов а и . При этом:

1) умножение коммутативно, т.е. для любых элементов а и из Р;

2) умножение ассоциативно, т.е. для любых элементов а, , с из Р;

3) в поле Р существует единственный элемент 1, называемый единичным, такой, что для любого элемента а из Р;

4) для каждого ненулевого элемента а из Р существует единственный элемент , называемый обратным, такой, что (это свойство обеспечивает существование в поле Р операции, обратной к умножению, - деление).

В поле Р сложение и умножение связаны законом дистрибутивности, т.е. для любых элементов а, , с из Р выполняется соотношение .

Вопросы для самопроверки

1 Определите понятие множества (способы задания; обозначение множества, элементов множества).

2 Равные множества, подмножество данного множества (определение, обозначение).

3 Пересечение множеств (определение, обозначение).

4 Перечислите свойства и операции пересечения множеств.

5 Дайте определение объединения множеств (обозначение, иллюстрация).

6 Перечислите свойства операции объединения множеств.

7 Дайте определение дополнения к множеству .

8 Перечислите свойства операции дополнения.

9 Определите разность двух множеств.

10 Дайте определение кортежа длины .

11 Какие два кортежа называются равными?

12 Определите отличия понятий кортежа и множества.

13 Определите декартовое произведение множеств.

14 Приведите примеры декартова произведения множеств.

15 Определите -мерное арифметическое пространство через декартово произведение.

16 Что означает – декартовая -ая степень множества ?

17 Какие свойства операций над множествами называются законами поглощения?

18 Перечислите законы правой дистрибутивности операций умножения, сложения, вычитания и декартова произведения относительно операций сложения и умножения.

19 Осуществите проверку равенства .