Отношения. Отношение на множестве. Если в декартовом квадрате некоторого множества A выделено какое–либо подмножество

Отношение на множестве. Если в декартовом квадрате некоторого множества A выделено какое–либо подмножество , то говорят, что на A задано отношение (или бинарное отношение). Если для некоторых элементов имеет место включение , то говорят, что находятся в отношении .

Определение. Бинарным (или двуместным) отношением r называется множество упорядоченных пар.

Если r есть отношение и пара <x, y> принадлежит этому отношению, то наряду с записью <x, y>Оr употребляется запись xry. Элементы х и у называются координатами (или компонентами) отношения r.

Определение. N-арным отношением называется множество упорядоченных n-ок.

Определение. Областью определения бинарного отношения r называется множество

Определение. Областью значений бинарного отношения r называется множество

Пусть rН XґY определено в соответствии с изображением на рисунке 8. Область определения Dr и область значений Er определяются соответственно:

Dr={x: (x, y) О r}, Er={y: (x,y)О r}.

Бинарное отношение можно задать любым из способов задания множеств. Помимо этого отношения, определенные на конечных множествах обычно задаются:

1. списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется.

2. матрицей – бинарному отношению соответствует квадратная матрица порядка n, в которой элемент cij, стоящий на пересечении i -той строки и j -го столбца, равен 1, если ai и aj имеет место отношение, или 0, если оно отсутствует.

Пример 8.

Пусть M={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Задать в явном виде (списком) и матрицей отношение r, заданное на множестве , если r означает «быть строго меньше».

Отношение r как множество содержит все пары элементов a,b из М такие, что a<b. Тогда

r = {(1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}.

Матрица отношения имеет вид:

.