Для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) (3–2i)²+(1+3i)(–2+5i);
б) (2+3i)(4–5i)–(2–3i)(4+5i);
в) ;
г) ;
д) .

2) Решить уравнения:
а) x²–(2+i)x–1+7i=0;
б) x²–(3–2i)x+5–5i=0;
в) x⁴–3x²+4=0.

3) Представить в тригонометрической форме:
а) 2–2i; б) –3–i ; в) 5; г) –4; д) 3i.

4) Вычислить
а) б) в)

5) Решить уравнения:
а) x⁶+27=0; б) x⁸+x⁴+1=0.

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени
x³+ax²+bx+c= 0 (1)
подстановкой x=y – приводится к приведенному кубическому уравнению
y³+py+q= 0. (2)
Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:
y=u+v = , (3)
где
u = , v =
и они связаны соотношением
u×v = . (4)
С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:
y=u , где u = . (5)
Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, что u ¹0, если p ¹0; если p =0, то никакая специальная формула не нужна (имеем дву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р ¹0), пологая y=u+v, подставляем его в уравнение:
(u + v)³+ p (u + v)+ q =0.
Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим:
(u ³+ v ³+ q)+(3 uv + p)(u + v)=0.
Для уничтожения второго слагаемого подберём u, v так, чтобы 3 uv + p =0 или u×v = . Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:

Замечаем, что u ³, v ³ – корни квадратного уравнения
z²+qz =0.

Затем, выбираем один (любой) корень z ₁ этого квадратного уравнения. Бе­рём в качестве u₁ одно (любое) значение кубического корня из z ₁ и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме:
u ₁, v ₁= , y₁=u₁+v₁, x₁=y₁ – ;
u ₂= u₁e₁, v ₂= v₁e₂, y₂=u₂+v₂, x₂=y₂ – ;
u ₃= u₁e₂, v ₃= v₁e₁, y₃=u₃+v₃, x₃=y₃ – ;
где e_1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что e₂=(e₁)²= и e₁=(e₂)²= , это позволяет варьировать нахождение u ₂, v ₂, u ₃, v ₃.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пусть x³+px+q= 0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим
∆= .

1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p ¹0, q ¹0), тогда уравнение (2) имеет два равных корня y₂=y₃, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именно
y₁ = ; y₂ = y₃ = . (6)
Если же ∆¹0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x³–6x +9=0.

Решение. Уравнение приведенное (отсутствует член с x ²). Используем модифицированную формулу Кардано (5):
∆= = = >0.
(берём только одно значение квадратного корня). Тогда
u = .
Одно из значений есть u ₁=–1, ещё два значения получим, умножая u ₁ на
e_1,2 – кубические корни из единицы. Итак,
u ₁=–1, x₁= u₁ – = – 1– =–3;
u ₂= u₁e₁=–e₁, x₂= u₂ – = –e₁+ =– e₁–2/e₁=
=– e₁–2e₂= .
Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, то x ₃= (x ₃ не нужно вычислять по формуле).

Ответ: x₁= –3, x ₂,₃= .

Пример 2. Решить уравнение:
x³+9x²+18x +28=0.

Решение. Сделаем подстановку x=y – = y –3. Получим уравнение
y³–9y+28= 0.
Полагаем y=u+v:
(u+v)³–9(u+v)+28=0,
(u ³+ v ³+28)+(3 uv –9)(u+v)=0.
Откуда , или , где u ³, v ³ – корни квадратного урав­нения
z²+28z +27=0.

Один из корней последнего уравнения z ₁=–1, тогда
u ₁=–1, v ₁= =–3, y₁=–4, x₁= –7;
u ₂= u₁e₁ = , v ₂= v₁e₂= , y₂= , x₂= ;
Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, то x ₃= .

Ответ: x₁= –7, x ₂,₃= .

Пример 3. Решить уравнение:
x³+3x –2 i =0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆.
∆= = =–1+1=0
Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).
x₁ = = ; x₂ = x₃ = = .

Ответ: x₁= –2 i, x ₂,₃= i.

Пример 4. Решить уравнение:
x³–3abx+ a³+b³ =0

Решение. Пологая x=u+v, получим
(u+v)³–3ab(u+v)+ a³+b³ =0 или (u ₃+ v ₃+ a³+b³)+(3 uv –3 ab)(u+v)=0.
Откуда
Одно из решений последней системы

Тогда
u ₁=– a, v ₁=– b, x₁= – a–b;
u ₂= u₁e₁ = , v ₂= v₁e₂= , x₂= .

Ответ: x₁= – a–b, x ₂,₃= .

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственных a,b не надо вычислять x ₃. Но если выписанное значение x ₃ есть корень уравнения при (любых) вещественных a и b, то ясно, что x ₃ будет корнем при лю­бых a,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

1. x³+6x²–12x +32=0

2. x³+9x²–18x +44=0

3. x³–3x²–6x +36=0

4. x³–12x²+24x –40=0

5. x³–6ix +4(1– i)=0

6. x³+(3–3i )x –9=0

7. x³+3ax +1– a³ =0

Ответы:

1. (–8; )

2. (–11; )

3. (–3; )

4. (10; )

5. (2+2 i; –1– i; –1– i)

6. (i ;

7. (a –1;

§8. Уравнения четвёртой степени.

Уравнение четвёртой степени
x ⁴+ ax ³+ bx ²+ cx + d =0 (1)
можно решить методом Феррари. Левая часть уравнения (1) раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов.

Рассмотрим один из вариантов разложения левой части (4) на множители. Перенесём три последних члена уравнения (1) в правую часть. Тогда уравнение (1) перепишем в виде
x ⁴+ ax ³ =– bx ²– cx – d | + a ² x ²/4
и прибавим к обеим частям уравнения a ² x ²/4,для того, чтоб получить в правой части полный квадрат:
.
Прибавим к обеим частям полученного уравнения выражение
, зависящее от параметра y, чтобы получить в обеих частях урав­нения полные квадраты:
. (2)

Правая часть уравнения будет полным квадратом, если, рассматривая её как уравнение второй степени
,
она будет иметь два совпадающих корня, т. е. когда дискриминант этого уравне­ния равен нулю:
D= b ²–4 ac =0Û . (*)
Чтоб найти y нужно решить уравнение третей степени (*). При этом достаточно найти хоть один корень y₀. Подставим его в уравнение (2), которое преобразуется в
.
Откуда

или

Левая часть (3) представляет разложение левой части (1) на множители. Из (3) имеем
. (3)
Решая квадратные уравнения (3), найдём все четыре корня исходного уравнения (1). Итак, решение уравнения четвёртой степени сводится к решению одного уравнения третей степени и двух уравнений второй степени.

Пример 1. Решить уравнение:
x ⁴+2 x ³+5 x ²+6 x +9=0

Решение. Переносим в правую часть уравнения все члены, степень кото­рых не превышает двух:
x ⁴+2 x ³=–5 x ²–6 x –9.
Если к обеим частям последнего уравнения прибавить a ² x ²/4= x ², то в левой части получится полный квадрат:
(x ²+ x)²=–4 x ²–6 x –9.
Теперь к обеим частям получившегося уравнения прибавляем (x ²+ x) y +1/4× y ². От этого левая часть не перестанет быть полным квадратом и примет вид:
(x ²+ x+ 1/2× y)² = (y– 4) x ²+(y– 6) x +(1/4× y ²–9) (*)
Возьмём теперь y таким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квад­ратом. Для этого потребуем, чтобы
D= b ²–4 ac =0Û (y– 6)²–4(y– 4) (1/4× y ²–9)=0Û(y– 6)²– (y– 4) (y ²–36)=0.

Замечаем, что одним из корней является y ₀=6. Подставим его в (*). Полу­чим
(x ²+ x+ 3)² =2 x ².
Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:
x ²+(1+ ) x+ 3 =0
x ²+(1– ) x+ 3 =0.
Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения чет­вёртой степени:
x_1,2= ,
x_3,4=

Ответ: x_1,2= , x_3,4=

Пример 2. Решить уравнение:
x ⁴–2 x ³–6 x ²–26 x –15=0

Решение.
x ⁴–2 x ³=6 x ²+26 x +15 | + x ² Û
Û (x ²– x)²=7 x ²+26 x +15 | +(x ²– x) y+y ²/4 Û
Û (x ²– x+y/ 2)²=(7+ y) x ²+(26– y) x +(15 +y ²/4) (*)
Возьмём теперь y таким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квад­ратом. Для этого потребуем, чтобы
D= b ²–4 ac =0 Û (26– y)²–4(7+ y)(15 +y ²/4)=0 Û
Û y ³+6 y ²+112 y –256=0.

Замечаем, что одним из корней является y ₀=2. Подставим его в (*). Полу­чим
(x ²– x+ 1)²=9 x ²+24 x+ 16 Û (x ²– x+ 1)²=(3 x +4)²
Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:
x ²–4 x– 3=0,
x ²+2 x+ 5=0.
Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения чет­вёртой степени:
x_1,2= ,
x_3,4= –1 2 i.

Ответ: x_1,2= , x_3,4= –1 2 i.

Пример 3. Решить уравнение:
x ⁴–2 x ³+2 x ²+4 x –8=0

Решение.
x ⁴–2 x ³+2 x ²+4 x –8=0 Û
Û x ⁴–2 x ³=–2 x ²–4 x +8 | + x ²Û
Û (x ²– x)²=– x ²–4 x +8 |+(x ²– x) y+y ²/4 Û
Û (x ²– x+y/ 2)²=(y– 1) x ²+(–4– y) x +(8 +y ²/4) (*)
Возьмём теперь y таким, чтобы и правая часть уравнения (*) стала полным квад­ратом. Для этого потребуем, чтобы
D= b ²–4 ac =0 Û (–4– y)²–4(y– 1)(8 +y ²/4)=0 Û
Û y ³–2 y ²+24 y –48=0.

Замечаем, что одним из корней является y ₀=2. Подставим его в (*). Полу­чим
(x ²– x+ 1)²= x ²–6 x+ 9 Û (x ²– x+ 1)²=(x –3)².
Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:

x ²–2 x +4=0,
x ²–2 =0.
Решая квадратные уравнения, получаем все четыре корня данного уравнения чет­вёртой степени:
x_1,2= ,
x_3,4= .

Ответ: x_1,2= , x_3,4= .