Образцы решения задач. Задача 1. Вычислить определитель

Задача 1. Вычислить определитель

=∆

Решение. 1 способ. Получаем нули в первой строке определителя ∆, т.е. аннулируем все элементы первой строки, кроме первого, прибавляя ко второму, третьему, четвёртому и пятому столбцам первый, умноженный на (–2), (–3), (–4),
(–5) соответственно:
∆=
По свойству 7 определитель не изменится. Разложим его по первой строке
∆=1^.(–1)¹⁺¹ .
Аналогично преобразуем четвёртую строку
∆= .
Определитель равен нулю, т.к. вторая и четвёртая строки пропорциональны.

2 способ. Заметим, что элементы соседних столбцов определителя отли­чаются друг от друга на единицу. Для общего уменьшения элементов определи­теля, вычтем из пятого столбца четвёртый, затем из четвёртого третий и т.д.
∆=
Определитель равен нулю, т.к. четвёртый и третий столбцы равны.

Ответ: ∆=0.

Задача 2. Вычислить определитель
∆= .

Решение. Получаем нули в первой строке и раскладываем по ней опреде­литель
∆= =1^.(–1)¹⁺¹ .
Ко второму столбцу полученного определителя прибавляем первый:
∆=
Разложим определитель по первой строке:
∆=–2^.(–1)¹⁺¹ =–2(8–10)=4.

Ответ: ∆=4.

Задача 3. Найти определитель разложением по столбцу:
∆=

Решение. Разложим определитель по элементам первого столбца:
∆=1^.(–1)¹⁺¹ +4^.(–1)²⁺¹ +7^.(–1)³⁺¹ =(45–48)–4(18–24)+7(12–15)=0

Ответ: ∆=0.

Задача 4. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью определите­лей:
а) А = б) В = .

Решение. а) Найдём определитель матрицы А
∆=| А |= =2×3–1×4=6–4=2¹0.
Определитель матрицы А отличен от нуля, поэтому матрица А невырожденная и для неё существует обратная матрица А^–1, которую мы вычислим по формуле:

А^–1=

Найдём алгебраические дополнения матрицы А:
А₁₁=(–1)^1+1.3=3; А₂₁=(–1)^2+1.1=–1;
А₁₂=(–1)^1+2.4=–4; А₂₂=(–1)^2+2.2=2.
Тогда
А ^–1 =
Сделаем проверку:
А×А ^–1= =
= = = Е.

Замечание. Из сказанного выше, получаем формулу для обращения невы­рожденной матрицы второго порядка:

=
Для определителя третьего порядка приведенные вычисления усложняются и имеют только теоретическое применение.

б) Вычислим определитель матрицы В:
∆=| В |= = =1(–1)²⁺¹ =–(0–1)=1¹0
Матрица В невырожденная, поэтому для неё существует обратная В^–1, которую вы­числим по формуле:
В ^–1= .
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы В:

А₁₁=(–1)¹⁺¹ =–1; А₂₁=(–1)²⁺¹ =1; А₃₁=(–1)³⁺¹ =0;

А₁₂=(–1)¹⁺² =–2; А₂₂=(–1)²⁺² =1; А₃₂=(–1)³⁺² =1;

А₁₃=(–1)¹⁺³ =5; А₂₃=(–1)²⁺³ =–3; А₃₃=(–1)³⁺³ =–1.
Тогда
В ^–1= .

Проверка:
B×В^{– 1}= × =

Ответ: а) А ^–1= б) В^{– 1}= .

Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы
∆= = =(–1)(–1)¹⁺³ =– =
=(–1)(–1)²⁺³ =0(–1)–(–1)2=2¹0
Определитель ∆¹0, поэтому система совместна определена и её единственное ре­шение можно найти по формулам Крамера:

Вычислим четыре вспомогательных определителя, заменяя столбцом свободных членов поочерёдно столбцы основного определителя:
∆₁= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)²⁺³ =–2+4=2;
∆₂= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)²⁺³ =2;
∆₃= = =1(–1)¹⁺⁴ =
=–(–1)(–1)³⁺¹ =4–6=–2;
∆₄= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)¹⁺² =–2;
Итак х ₁=2/2=1, х ₂=2/2=1, х ₃=–2/2=–1, х ₄=–2/2=1.
Проверка:

Ответ: {(1;1;–1;–1)}.

Для самостоятельного решения.

1. Методом Крамера решить системы линейных уравнений:
а) б) .

2. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью алгебраических до­полнений:
а) ; б) ; в) ; г) .