КОРДАНО.
Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:
(1)
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент равен единице; в противном случае мы поделили бы обе части уравнения на старший коэффициент.
Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим и найдем .
Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:
(2)
Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:
,
раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:
.
Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.
Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:
Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:
откуда
.
Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:
(3)
(3) – формула Кардана.
Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v, получим девять сумм u+ v,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:
|
|
(4)
Обозначим через , какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через - один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например: .
Тогда , . Найдем . Так как и , то
, откуда
, откуда .
Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):
, , .
Учитывая, что , , имеем: (5)
Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения:
, .
,
Обозначим - выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.
Предложение Если , то уравнение (2) имеет три различных корня.
Покажем, что , , , где - первообразный корень третьей степени из 1.
Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим: , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.
, что при невозможно.
Аналогично обнаруживается, что .
Если при и , то
. Так как ,то . Следовательно .
Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :
Обращаясь к формулам (5) получим:
Предложение: При ( и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: , (6)
Пример: Решить уравнение: .
УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .
|
|
Теорема: Если , то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;
если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;
если , то то все корни (7) действительны и различны.
1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.
Рассмотрим выражение .
Так как , то - действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:
,
.
2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.
При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .
3. (неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда . Найдем модуль и аргумент подкоренного выражения:
, . Т.о. .
Полагая получим:
.
Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля :
.
Найдем
, т.е. , но . Значит . Тогда
Тогда корни (7) имеют вид:
(8)
Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.
Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.
Пример. Очевидно - действительный корень.
(один действительный и два сопряженных мнимых корня)
По формуле Кардана: - иррациональные числа
При приближенных вычислениях , . Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.
УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Пусть (1) –
Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.
(2)
Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .
Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .
(3)
(3)- кубическая резольвента.
Пусть - какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:
Откуда
Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.
Пример.
, ,
II способ Левая часть уравнения раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов, для чего сначала представляют ее как разность между квадратом некоторого квадратного трехчлена и многочленом второй степени: - (члены степени не больше двух), оставляя пока неопределенным. В вычитаемое при этом входят лишние члены уменьшаемого(члены степени не больше 2) и такие же члены левой части (с обратным знаком). Для того, чтобы вычитаемое было полным квадратом, надо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Это условие дает уравнение третьей степени относительно . Беря в качестве любой корень этого уравнения, получаем искомое.
Пример.
1)
, , ,
, ,
*2)