2015-05-25
5475
КОРДАНО.
Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:
(1)
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффициент равен единице; в противном случае мы поделили бы обе части уравнения на старший коэффициент.
Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим 
и найдем 
.
Таким образом, сделав в (1) подстановку 
, получим неполное кубическое уравнение:
(2)
Чтобы найти корни уравнения (2), положим 
, где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:
,
раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:
.
Потребуем, чтобы 
или 
. Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием 
означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.
Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:
Отсюда 
согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:
откуда
.
Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:
(3)
(3) – формула Кардана.
Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v, получим девять сумм u+ v,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:
(4)
Обозначим через 
, 
какую-нибудь пару значений 
, удовлетворяющих (4), а через 
- один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например: 
.
Тогда 
, 
. Найдем 
. Так как 
и 
, то
, откуда 
, откуда 
.
Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):
, 
, 
.
Учитывая, что 
, 
, имеем: 
(5)
Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения: 
, 
.
, 
Обозначим 
- выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.
Предложение Если 
, то уравнение (2) имеет три различных корня.
Покажем, что 
, 
, 
, где - первообразный корень третьей степени из 1.
Пусть 
, 
, 
. Возведя обе части равенства в куб получим: 
, т.е. квадратное уравнение 
имеет два равных корня: 
, что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) 
, т.к. при 
. Если бы 
, то 
, т.е.
, что при невозможно.
Аналогично обнаруживается, что 
.
Если 
при 
и 
, то 
. Так как ,то 
. Следовательно 
.
Откуда одно из значений 
: 
. Соответствующее значение : 
Обращаясь к формулам (5) получим: 
Предложение: При ( и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: 
, 
(6)
Пример: Решить уравнение: 
.
УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Пусть 
(7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .
Теорема: Если 
, то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;
если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;
если 
, то то все корни (7) действительны и различны.
1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.
Рассмотрим выражение 
.
Так как , то 
- действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть 
, тогда 
. На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: 
, а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:
,
.
2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.
При , 
, 
уравнение (7) имеет три равных нулю корня: 
.
3. (неприводимый случай). Так как , то 
, где 
. Тогда 
. Найдем модуль 
и аргумент 
подкоренного выражения: 
, 
. Т.о. 
.
Полагая 
получим:
.
Произведение комплексного числа 
на сопряженное 
равно квадрату модуля 
:
.
Найдем 
, т.е. 
, но . Значит 
. Тогда
Тогда корни (7) имеют вид:
(8)
Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.
Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.
Пример. 
Очевидно 
- действительный корень.
(один действительный и два сопряженных мнимых корня)
По формуле Кардана: 
- иррациональные числа
При приближенных вычислениях 
, 
. Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.
УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.
Пусть 
(1) –
Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.
(2)
Подберем вспомогательное неизвестное 
так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что 
, где 
, 
, 
. Если 
, сравнивая коэффициенты при 
: 
, 
, 
, откуда . Обратно, если , то 
.
Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что 
.
(3)
(3)- кубическая резольвента.
Пусть 
- какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:
Откуда 
Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.
Пример. 
, 
, 
II способ Левая часть уравнения раскладывается на два множителя второй степени, которые последовательно приравниваются к нулю. Для нахождения такого разложения левую часть представляют как разность квадратов, для чего сначала представляют ее как разность между квадратом некоторого квадратного трехчлена и многочленом второй степени: 
- (члены степени не больше двух), оставляя 
пока неопределенным. В вычитаемое при этом входят лишние члены уменьшаемого(члены степени не больше 2) и такие же члены левой части (с обратным знаком). Для того, чтобы вычитаемое было полным квадратом, надо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Это условие дает уравнение третьей степени относительно . Беря в качестве любой корень этого уравнения, получаем искомое.
Пример.
1) 
, 
, 
,
, 
, 
*2) 
