Глава 3. Комплексные числа

§6. Поле комплексных чисел.

Мнимая единица. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Арифметические операции над комплексными числами и их геометрическая интерпретация. Комплексная плоскость и формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Двучленные уравнения.

Поле комплексных чисел С – это расширение поля действительных чисел, полученное присоединением корня i (мнимая единица), квадратного уравнения x ²+1=0. Элементы поля С называют комплексными числами. Причём,

С={a|a= a+bi, a ÎR, b ÎR}

Представление комплексного числа a в виде a+b i единственно, т.е.

a+bi = с+di Û(a=c и b=d),
a= a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа. Действительные числа a,b называются соответственно действительной частью и коэффициентом при мнимой части числа a. Во множестве комплексных чисел определена операция сопряжения, однозначно сопоставляющая каждому числу a= a+bi сопряжённое с ним число = a–bi.

Простейшие свойства операции сопряжения:
1) =a; 2) =aÛaÎR; 3) = ; 4) = ;
5) , при b¹0; 6) (a+ )ÎR; 7) a^. ÎR 8) если a¹0, то ^.a>0.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел a= a+bi и b= с+di определяются правилами:
a+b=(a+bi)+(с+di)=(a+c) + (b+d) i;
a – b=(a+bi) – (с+di)=(a–c) + (b–d) i;
a^.b=(a+bi)^.(с+di)=(ac–bd)+(ad+bc) i;

(деление определено, если b¹0).

Каждое комплексное число a= a+bi определяет пару (a,b) действительных чисел, которой на координатной плоскости соответствует точка М с координатами (a,b) или радиус-вектор . Указанные соответствия взаимно однозначны. Этот факт позволяет представлять числа как точки координатной плоскости, или как радиус-векторы. Сложение, вычитание комплексных чисел можно представить как сложение (вычитание) соответствующих векторов.

На плоскости можно использовать не только декартову xOy, но и полярную систему координат Ox (рис.1), в которой a= r^.cosj, b=r^.s i nj, тогда a= a+bi = r^.(cosj+ i ^.s i nj).

Запись числа a в виде r^.(cosj+ i ^.s i nj) называется тригонометрической формой комплексного числа. Длина вектора , изображающего число a= a+bi, называется модулем этого комплексного числа:

r=½a½=

Угол, который образует вектор , с положительным направлением оси Ox, называется аргументом комплексного числа a¹0:
arga=j,

=cosj, =s i nj.

Полярные координаты точки, в отличие от декартовых, определяются неоднозначно: если r₁^.(cosj₁+ i ^.s i nj₁)= r₂^.(cosj₂+ i ^.s i nj₂), то r₁=r₂ и j₁=j₂+2pk, где kÎZ.

В тригонометрической форме над комплексными числами удобно выполнять действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней натуральной степени: если a₁=r₁^.(cosj₁+ i ^.s i nj₁), a₂=r₂^.(cosj₂+ i ^.s i nj₂), то

(cos(j₁ – j₂)+ i ^.s i n(j₁ – j₂));

a₁^.a₂=r₁^.r₂(cos(j₁+j₂)+ i ^.s i n(j₁+j₂));

(a)ⁿ=rⁿ(cos(nj)+ i ^.s i n(nj));
=r^.(cosg+ i ^.s i ng), где r= , a= , k=0..(n – 1).

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, поэтому умножение на комплексное число b с модулем, равным 1, геометрически можно интерпретировать как поворот на угол arg b вокруг начала координат, т.е. соответствие a®ba (или функция f= ba) при | b |=1 задаёт преобразование комплексной плоскости, именно указанный поворот.

Параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом g, описывается функцией f= ba+g. Умножение числа a на комплексное число b сводится к растяжению вектора, изображающего a, в |b| раз и повороту на угол j=arg b вокруг начала координат. Функция f= ba+g, a,b Î С, b ¹1, задаёт на комплексной плоскости гомотетию с центром в точке g /(1 –b), коэффициентом k=| b | и поворот с этим центром на угол j=arg b, что следует из равенства:

ba+g=b (a– g/(1 –b))+g/(1 –b);

При извлечении корня n-ной степени из числа a все его n значений имеют одинаковые модули, а аргументы различаются на углы, кратные 2p/n. Таким образом, все значения располагаются на окружности радиусом с центром в начале координат через угол 2p/n.