Если остаточная погрешность больше , то результат отбрасывается как грубая погрешность ( - сомнительный результат).
Критерий применяется при большом числе измерений.
Иногда пользуются критерием . Если разность > , то результат принимают за грубую погрешность и отбрасывают.
8.2 Проверка нормальности результатов наблюдений
При числе результатов наблюдений < 50 нормальность распределения проверяют при помощи составного критерия.
Критерий 1.
Вычисляют отношение :
,
где – смещенная оценка среднеквадратического отклонения, которая вычисляется по формуле
.
Результаты наблюдений считаются нормально распределенными, если
< < ,
где и - квантили распределения, получаемые из табл. 8.3; – заранее выбранный уровень значимости.
Таблица 8.3
Статистика
1% | 5% | 95% | 99% | |
0,9137 | 0,8884 | 0,7236 | 0,6829 | |
0,9001 | 0,8768 | 0,7304 | 0,6950 | |
0,8901 | 0,8686 | 0,7360 | 0,7040 | |
0,8826 | 0,8625 | 0,7404 | 0,7110 | |
0,8769 | 0,8578 | 0,7440 | 0,7167 | |
0,8722 | 0,8540 | 0,7470 | 0,7216 | |
0,8682 | 0,8508 | 0,7496 | 0,7256 | |
0,8648 | 0,8481 | 0,7518 | 0,7291 |
Критерий 2.
|
|
По этому критерию результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более разностей превзошли значение , где определяется по формуле
,
– верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности .
Значения определяются из табл. 8.4 по выбранному уровню значимости и числу результатов наблюдений .
Если при проверке нормальности распределения для критерия 1 выбран уровень значимости , а для критерия 2 – , то результирующий уровень значимости составного критерия будет .
Распределение результатов наблюдений не соответствует нормальному в том случае, если не соблюдается хотя бы один из критериев.
Таблица 8.4
Значения для вычисления
1% | 2% | 5% | ||
0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
11 – 14 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
15 – 20 | 0,99 | 0,99 | 0,98 | |
21 – 22 | 0,98 | 0,97 | 0,96 | |
0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
24 – 27 | 0,98 | 0,98 | 0,97 | |
28 – 32 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
33 – 35 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
36 – 49 | 0,99 | 0,99 | 0,98 |
Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости от 10 до 2%.
При большом числе наблюдений (более 50) используются критерий согласия К.Пирсона (критерий ) для группированных наблюдений и критерий Р.Мизеса – Н.В.Смирнова (критерий ) для негруппированных наблюдений.
Метод заключается в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом наблюдений, построенной на основе нормального распределения.
Порядок вычислений следующий:
1. Вычисляют среднее арифметическое результата измерений и оценку
среднеквадратического результата наблюдений.
|
|
2. Группируют наблюдения по интервалам. Для каждого интервала вычисляют середину и подсчитывают эмпирическое число наблюдений , попавшее в каждый интервал. При числе наблюдений 40 – 100 принимают 5 – 9 интервалов.
3. Вычисляют теоретически соответствующее нормальному распределению число наблюдений для каждого интервала. Для этого из реальных середин интервалов переходят к нормированным :
.
Затем для каждого значения находят значение функции плотности вероятностей :
.
4. Вычисляют ту часть общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов:
,
где - общее число наблюдений; - длина интервала, принятая при построении гистограммы.
5. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше наблюдений, то его в обеих гистограммах соединяют с соседним интервалом.
6. Определяют число степеней свободы , где – общее число интервалов после укрупнения.
7. Вычисляют показатель разности частот :
,
где .
8. Выбирают уровень значимости (от 0,02≤ ≤0,1%). По уровню значимости и числу степеней свободы находят границу критической области . Если оказывается, что > , то гипотеза о нормальности отвергается.
8.3 Определение доверительных границ случайной и неисключенной систематической погрешности результата измерения
Доверительные границы случайной погрешности результата измерения устанавливаются для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Они без учета знака определяются выражением
,
где – коэффициент Стьюдента, который зависит от заданной доверительной вероятности и числа результатов наблюдений. Доверительную вероятность принимают равной 0,95; допускается указывать границы для .
Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерений вычисляют путем построения композиции распределения составляющих неисключенных систематических погрешностей. При равномерном распределении эти границы вычисляются по формуле
,
где – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, равный 1,1 при и 1,4 – при и > 4; – число суммируемых неисключенных погрешностей.
Если < 4, то коэффициент определяют по данному графику зависимости , . За принимается наиболее отличающаяся от других составляющая, в качестве следует принимать ближайшую в составляющую.
При определении границы погрешности результата измерения рассматривают соотношение неисключенной систематической и случайной погрешностей.
Если неисключенные систематические погрешности пренебрежимо малы по сравнению со случайными ( < 0,8), то погрешность результата измерения можно характеризовать только доверительными границами случайной погрешности, т.е. .
Если пренебрежимо малы случайные погрешности ( > 8), то погрешность результата измерения характеризуется неисключенными систематическими погрешностями .
Если 0,8 < < 8, то граница погрешности результата измерения вычисляется по формуле , где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; – оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения, вычисляемая по формуле
.
Коэффициент определяют по зависимости
.
Результаты измерения должны быть представлены в стандартной форме. Так, при симметричной доверительной погрешности указывают: результат , граница погрешности и вероятность :
.
Численное значение результата должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.
При необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешности результаты измерения представляются в форме , , , . Иногда указывают и доверительную вероятность .
|
|
Приложение 1.
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра 207
Метрология, стандартизация, сертификация
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
“Метрология, стандартизация и сертификация”
Группа | _______________ | |||||
Студент | _______________ | /подпись, дата/ | ||||
Консультант | _____________ | /подпись, дата/ | ||||
Работа зачтена с оценкой | “______________” | |||||
Принял | _______________ | /подпись, дата/ | ||||
Москва, 200 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2