Пример 12

На склад ежедневно поступают детали с трех предприятий. С первого - 30 деталей, со второго - 20 и с третьего - 40. Установлено, что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий, соответственно, имеют дефекты. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет дефектна.

Решение:

Обозначим: В - взятая наугад деталь дефектна; А₁ - деталь изготовлена на первом предприятии, А₂ - деталь изготовлена на втором предприятии, A₃ - деталь изготовлена на третьем предприятии. События A₁, A₂, и A₃ образуют полную группу несовместных событий и

Условные вероятности события В равны:

Р(В/А₁) = 0,02; Р(В/А₂) = 0,04; Р(В/А₃) = 0,05.

Тогда

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса, названная по имени английского математика Томаса Байеса (1702-1761). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как в результате опыта произошло событие В.

Пусть имеется полная группа несовместных событий A₁, A₂,..., A_п. Вероятности этих событий до опыта (априорные) известны и равны соответственно Р(А₁), Р(А₂), … Р(А_п). В результате проведения опыта произошло событие В. Необходимо найти апостериорные (после опыта) вероятности событий A_j, т.е. следует определить условную вероятность Р(A_j / В)

Согласно закону умножения вероятностей имеем:

Тогда,

Отсюда,

Выражая Р(В) с помощью формулы полной вероятности, имеем:

(10)